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高等数学题库第一章《极限》

填空题

1.极限。

答案：2

难度等级：1；知识点：等价无穷小的替换，有理分式函数的极限

分析：由于当时，，于是，

极限。

答案：2

难度等级：1；知识点：等价无穷小的替换

分析：由于当时，，于是

设，则的连续区间为。

答案：

难度等级：1；知识点：初等函数的连续性

分析：由于初等函数在其定义区间内连续，而的定义域为，即从而的连续区间为

设函数，则。

答案：

难度等级：1；知识点：数列极限的计算

分析：由于，得，代入极限中有

。

答案：

难度等级：1；知识点：重要极限

分析：利用重要极限，有

。

答案：

难度等级：1；知识点：等价无穷小的替换，有理分式函数的极限

分析：由于当时，，于是

设函数在处连续，则。

答案：2

难度等级：1；知识点：连续函数定义

分析：由于在处连续，由连续定义知，而

，因此，

解得

设，且对一切成立，则。

答案：

难度等级：1；知识点：函数定义

分析：由，比较两边同次幂系数得

9.设在连续，则常数与的关系是。

答案：

难度等级：1；知识点：连续函数定义

分析：由于在连续，有，

故

10.设，则。

答案：

难度等级：1；知识点：函数定义

分析：由故令，得

11..

答案：2

难度等级：1；知识点：数列极限的计算

分析：

12.的水平渐近线为。

答案：

难度等级：1；知识点：水平渐近线的定义

分析：由，知水平渐近线为

如果则。

答案：

难度等级：1；知识点：等价无穷小的替换，第一个重要极限

分析：由得

14.。

答案：1

难度等级：1；知识点：无穷小的性质

分析：

15.已知，则。

答案：2

难度等级：1；知识点：数列极限的计算

分析：由得

。

答案：

难度等级：1；知识点：等价无穷小的替换

分析：

17.若在点连续，，则。

答案：0

难度等级：1；知识点：连续函数的定义

分析：根据连续函数定义，由在点连续有，于是

。

答案：

难度等级：1；知识点：函数极限的四则运算法则

分析：由于，根据极限的四则运算法则（商）有

若，则，。

答案：

难度等级：2；知识点：函数极限的四则运算法则，等价无穷小的替换

分析：由于且，有，从

而又，得

。

设在连续，且存在，则。

答案：3

难度等级：2；知识点：函数极限的四则运算法则，连续函数的定义

分析：由存在，得到，从而，另一方面，

由于在连续，于是。

设当时，是比高阶的无穷小，而是比

高阶的无穷小，则正整数2。

答案：2

难度等级：2；知识点：等价无穷小，高阶无穷小的定义

分析：当时，，故由题意

知

当时，与是等价无穷小，则常数。

答案：

难度等级：2；知识点：等价无穷小的定义，等价无穷小的替换

分析：由于当时，，，于是

，又与是等价无穷

小，所以，解得

。

答案：

难度等级：2；知识点：函数极限的计算

分析：由于，故分子分母同除以得：

。

答案：

难度等级：2；知识点：两个重要极限

分析：

设，则。

答案：

难度等级：2；知识点：夹逼准则

分析：由于，且，故

已知则。

答案：

难度等级：2；知识点：函数极限的四则运算法则

分析：由知，，从而，即，

故

函数的无穷间断点为。

答案：

难度等级：2；知识点：无穷间断点的定义

分析：由于函数的间断点为且，

，故函数的无穷间断点为。

设的定义域是，则函数的定义域为。

答案：

难度等级：2；知识点：函数定义域

分析：由于的定义域是，所以，解得。

设，则在不连续。

答案：0

难度等级：2；知识点：分段函数的连续性