多元函数的极值与拉格朗日乘数法.ppt

*可得即当切点坐标为四面体的体积最小多元函数的极值与拉格朗日乘数法第32页,共44页，2024年2月25日，星期天*解为简化计算,令是曲面上的点,它与已知点的距离为问题化为在下求的最小值.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法第33页,共44页，2024年2月25日，星期天*设(1)(2)(3)(4)多元函数的极值与拉格朗日乘数法第34页,共44页，2024年2月25日，星期天*由于问题确实存在最小值，故得唯一驻点多元函数的极值与拉格朗日乘数法还有别的简单方法吗用几何法!第35页,共44页，2024年2月25日，星期天*解为此作拉格朗日乘函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法9)2()2(2222￡-+-+=yxyxz在圆求函数第36页,共44页，2024年2月25日，星期天*最大值为最小值为多元函数的极值与拉格朗日乘数法]9)2()2[(),(2222--+-++=yxyxyxLl22yxz+=函数上，在圆9)2()2(22￡-+-yx第37页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数的极值与拉格朗日乘数法2002年考研数学(一),7分设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说,要在D的边界线上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就第38页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数的极值与拉格朗日乘数法解(1)由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x,y)在点M(x0,y0)处沿梯度方向导数的最大值为该梯度的模,所以(2)令由题意,只需求在约束条件下的最大值点.令第39页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数的极值与拉格朗日乘数法则(1)(2)(3)(1)+(2):从而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4个可能的极大值点可作为攀登的起点.第40页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数极值的概念条件极值拉格朗日乘数法多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念多元函数的极值与拉格朗日乘数法三、小结(上述问题均可与一元函数类比)第41页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数的极值与拉格朗日乘数法思考题答不一定.二元函数在点处有极值(不妨设为极小值),是指存在当点且沿任何曲线趋向于一元函数在点x0处取得有极小值,表示动点且沿直线第42页,共44页，2024年2月25日，星期天*多元函数的极值与拉格朗日乘数法并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负方向)趋向于它们的关系是:在点取得极大(小)值取得极大(小)值.第43页,共44页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第44页,共44页，2024年2月25日，星期天**关于多元函数的极值与拉格朗日乘数法*一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,为极大值.则称多元函数的极值与拉格朗日乘数法第2页,共44页，2024年2月25日，星期天*注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第3页,共44页，2024年2月25日，星期天*例例例函数存在极值,在(0,0)点取极小