2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件新人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

1．1空间向量及其运算

1.1.2空间向量的数量积运算;素养目标?定方向;?

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点)

2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)

3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点)

4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)

?

1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养．

2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养．

3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.;必备知识?探新知;空间向量的夹角;2．夹角的范围;思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？

提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．;做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，;空间向量的数量积;思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)?

提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．;4;向量a的投影;2．向量a向平面β投影;做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．()

(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．()

(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．();关键能力?攻重难;1．(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于();[规律方法]求空间向量的数量积的步骤

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入公式a·b＝|a||b|cosa，b求解．;(1)已知a和b是相互垂直的单位向量，m＝4a－3b，n＝2a＋5b，则m·n＝()

A．－7 B．7

C．－21 D．9;题型二;[规律方法]用向量法证明垂直关系的步骤

(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．;如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.;题型三;[规律方法]求两点间距离的方法

(1)取以两点为起点和终点的向量；

(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；

(3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．;如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．;易错警示;课堂检测?固双基;1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是()

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

[解析]当a⊥b时，a·b＝0，A错误；B正确；由a2＝b2得a2－b2＝0，即a＋b＝0或a－b＝0或(a＋b)⊥(a－b)，C错误；若a⊥b，a⊥c，有a·b＝a·c，但b＝c不一定成立，D错误．;2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是();60°