热传导与热辐射大作业解析.doc

热传导与热辐射大作业解 姓名： ： 描述 , ，内有均匀恒定热源，在及处绝热，在及处保持温度，初始时刻温度为，如右图1所示： 1、求时，矩形区域内的温度分布的解析表达式； 2、若，，，，，热传导系数 ，热扩散系数。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析： 300s内，在同一图中画出点、、、、（单位：m）温度随时间的变化； 200s内，画出点、、、、（单位：m）处，分别沿x、y方向热流密度值随时间的变化； 画出时刻区域内的等温线； 300s内，在同一图中画出点（单位：m）在分别等于，，情况下的温度变化； 300s内，比较点(9,6) （单位：m）在其它参数不变情况下热导率分别为、和的温度、热流密度变化； 300s内，比较点(9,6) （单位：m）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为、和的温度、热流密度变化； 3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下； 4、附上源程序和个人体会； 以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。 2数学描述解析解 其中定解条件为： ； 该问题可分解为一个稳态问题一个的齐次问题 2.1 稳态非齐次问题的求解 稳态问题数学为： ； 求解该问题，定义新变量 将式2.3)代入问题(2.2)可得： ； ； 选常数,则2.4)变为： ； 这是不含内热源的稳态问题，分离变量法解 可分为分离后问题为： 查M.N.奥齐西克教材中表-2得到 ， ，其中 的正根，即 有 可取为 由下式组成： 的非齐次条件可得 正交性求系数 ： 得到： (2.9)可得问题(2.5)的解为： 式2.3)可以得到稳态问题的解为： 非稳态问题的求解 齐次问题数学描述为 ； ； 同样使用分离变量法求解 同时假定分离为 形式对应函数 的分离方程为： ； 的解为： 完全解表示为 当 时，初始条件： M.N.奥齐西克教材中表-2可查得： ，其中 的正根即 ，其中 的正根 这些函数的正交性 将查表所得 将上式代入2.20)可得齐次问题的解为： 问题的解可以由下式取得： 至此得到原问题的解析解。 求 3.1划分网格 矩形区域方向以间隔等分为节点方向以间隔等分为节点节点网络，其中任意一个节点的温度可表示为 时间以步长，即 节点方程 使用隐式差分方程 (1) 对于内部节点 取则方程整理为 2) 对于绝热边界点 的绝热边界 取则方程整理为 的绝热边界 3) 对于定温边界附近的节点 边界附近节点方程仍，此时可取 边界内侧附近 并取得 边界内侧附近 4) 关于四个角点 原点 若取则方程整理为 时 当 当 3.2 确定相关数据 本题中取,。 取。则傅里叶数 这里的傅里叶数较大，可以看出采用隐式求解收敛的便利性。 存在定温边界，研究范围 将二维量一维形式作如下变换 则线性方程组的系数矩阵常数的元素值可取 当即 当，即 当即 当，即 当，即 当即 当即 当即 由此确定系数矩阵向量元素 3.3 进行数值求解 初始条件可以得到MATLAB迭代计算矩阵方程 得到温度解。 所使用的程序附于文后。 结果 计算结果 (1) s内，在同一图中画出点、、、、（单位：m）温度随时间的变化； 温度变化图像绘于图。程序文后。 可以看出，各点温度变化上升趋势，趋于平缓。这是非稳态过程起始时刻区域内存在较大势差，因此引起剧烈变化，当过程进行一段时间后，逐渐趋于平衡，因此各点温度也逐渐，趋于稳态值。 (2) 00s内，画出点、、、、（单位：m）处，分别沿x、y方向热流密度值随时间的变化； 各点热流密度变化如下图所示。程序文后。 热流密度坐标轴正方向的方向为正。由于内部初始温度较低，热量从边界流入，因此初始热流密度均为负值。 过程进行，内部温度逐渐升高，由于内热源的作用，内部温度逐渐高于定温边界温度，因此热流密度变化为正值。 3) 画出时刻区域内的等温线；