3.3 3.4 指数分布和正态分布.ppt

例7.已知连续型随机变量 函数值 则概率P(|X|<2.88)=________. 例8.已知连续型随机变量 函数值 求：(1)P(0<X<2) (2)P(X<-2) (3)P(X>2) 例9.已知连续型随机变量 若概率 则常数c=( ) 例10.已知连续型随机变量 若概率 则常数λ=________. 例11.某大学男生体重Xkg是一个连续型随机变量，它服从参数为μ=58kg,σ=2kg的正态分布，从中任选1位男生，求这位男生体重在55kg~60kg的概率。 （函数值 ） * * * 均匀分布 §3.3 指数分布 §3.4 正态分布 几个重要的连续型随机变量 一、均匀分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从[a, b]上的均匀分布， 记作：X ～ U [a, b] 可得，如果随机变量 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，则随机变量 X 在区间[a, b]上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。 再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ． 例1 某公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率. 例2 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求以下一元二次方程有实根的概率。 二、指数分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从参数为λ的指数分布， 记作：X ～ exp (λ) 指数分布的应用背景： 因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例 （1）电子元器件的寿命， （2）随机服务系统中的服务时间等 例3 某电子元件的寿命X(年）服从参数λ＝3的指数分布 （1）求该电子元件寿命超过2年的概率。 （2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率 指数分布具有无记忆性： 若X表示一电子元件的寿命，上式表明一个已经使用了时间s（单位）未损坏的电子元件，它能够再继续使用时间t以上的概率与一个新的电子元件能够使用t以上的概率是相同的。（与过去经历的时间无关） 例4 某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机变量，其概率密度为 （1）任取一只灯泡，求这只灯泡使用寿命在1200小时以上的概率。 （2）任取两只灯泡，求两只灯泡使用寿命都都在1200小时以上的概率。 例5 设连续型随机变量X服从参数为λ（λ>0）的指数分布，且已知 （1）求参数λ值 （2）概率P(50<X<150) 三、正态分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 其中? 及? ＞0都为常 数， 则称 X 服从正态分布（或高斯分布）， 记作：X ～ N (?，?2) （1）非负性 （2）正规性 特别地，当?=0 及?=1 时，其概率密度为 则称 X 服从标准正态分布， 记作：X ～ N (0，1) 正态分布密度函数： （一）、特殊情形：标准正态分布 （1）偶函数（关于x=0对称），在负半轴单调上升，在正半轴单调下降； （2）曲线在x=0处达到峰值(最高点) （3）曲线以x轴为渐近线 （二）、一般情形：正态分布 （1）关于直线x=μ对称.，在负半轴单调上升，在正半轴单调下降； （2）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （3）曲线以x轴为渐近线 两头低，中间高，对称的特征。 ? 当固定σ, 而改变μ 值的大小时，φ(x)图形的形状不变，只是沿x着轴平移, 故μ称为位置参数 当固定μ , 而改变σ值的大小时，φ(x)图形的对称轴不变，而形状在改变， 故σ称为形状参数 ? ?=0.5 ?=1 ?=2 σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 很多现象可以用正态分布描述或近似描述： 比如： 同龄人的身高和体重； 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸； 农作物的产量，小麦的穗长、株高； 测量误差， 都服从或近似服从正态分布.