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数学建模讲义 利用微分、差分方程建立数学模型 * * 重庆大学数理学院 微分、差分方程简介 第一部分 1.1 现实中的微分问题 热得快还是冷得快？当一次谋杀发生之后，法 医可以根据尸体的温度来确定死亡时间。此法是否 客观，有何科学依据？牛顿加热及冷却定律适合于 此吗？ 人口的增长有多快？公司的净资产变化有多快？ 飞行员跳伞的降落速度有多快？江湖河流的污染 变化有多快？等等。这些问题都涉及一个变化的 速度问题，并且一般不是恒速，而是变速问题。 并且依赖于众多因素，因此难以给出简单的答案。 事实上，速度就是变化率、导数或者微商，这 正是所谓的微分问题分析和解决这些微分问题 的第一步就是根据物理的、非物理的原理或规 律，作出适当的假设，并建立反映或近似反映 该微分问题的微分方程模型。 1.2 微分方程分类 常见的微分方程模型有：线性和非线性 的、常系数和变系数的、有解析表达式和无解 析表达式的、方程和方程组的情形等等。 1.3 微分方程的解析解 一般来说，微分方程的求解是十分困难的, 只有一些特殊的微分方程可以求得解析解.大 家可以参阅<<高等数学>>或<<常微分方程>> 等教材. 1.4 微分方程的数值解 数值解法能够得出解在若干个点处的近似结果, 即一张离散的函数表.例如,考虑一阶方程: y’=f(x,y), y|x=x0 =y0 在一定条件下,其精确解存在且唯一,记为y(x). 首先,取一系列的点x0<x1<···xn<xn+1<···,在这些 点上用离散化方法将初值问题化为关于离的相 应问题,得到yk作为y(k)的近似结果,点列 yk (k=0,1,2, ···) 叫做初值问题在点里xk (k=0,1,2, ···)上的数值解. 常用数值求解方法: Euler方法 在上面的例子中, 用差商代替微商,得到 = f(Xn,yn) 即得 Yn+1=Yn+(Xn+1 – Xn)?f(Xn,Yn) ,n=0,1,2... 特别地, 若Xn+1 – Xn=h (h为常数),n=0,1,2…, 则得Euler公式: Yn+1=Yn+h?f(Xn,Yn) , n=0,1,2... yn+1 - yn Xn+1-Xn Runge_Kutta方法 根据截断误差,可分为2阶.3阶.4阶等Runge_Kutta公式, 阶数越高,精度越高.微分方程的软件解法大多采用R_K方 法. 1.5 差分方程 差分方程的一般形式: K-阶差分方程 隐式: F(Yn+k,Yn+k-1,…,Yn,n)=0 显式: Yn+k=f(Yn+k-1,…,Yn,n) 差分方程的求解方法: 同微分方程一样, 要求得解析解是十分困难的,甚 至是不可能的. 而利用迭代产生数值解往往是可行的: 对显式可通过一系列的迭代得到系列{Yn}的值. 对隐式需解方程化为显式进行迭代. 微分方程的数值解法所提供的公式 就是一系列的差分方程. 注意: 第三部分 微分、差分方程建模的简单实例 3.1 Newton冷却(加热)定律 将温度为T的物体放入处于常温m的介质中, 则T的变化率正比于物体温度T与周围介质温度 m的差. 即: dT/dt =k(T – m), 化为差分方程模型为: Tn+1 = Tn – k(Tn – m) 公安人员侦破凶杀案，如何快速地估算出死者的 死亡时间, 此时0.0081. 2.把读数为25oC的温度计放到室外，20分钟后，读 数为28.2oC，再过20分钟后读数为30.32oC，试推算 一下室外温度是多少。 3.2 有关动物群体的常微分方程模型 关于这一类的问题非常多，如人口问题，生态与 动植物保护问题，合理开发问题，种群之间的竞 争排斥问题等等。 思路: 离散问题连续化 3.2.1 人口模型 假设t时刻人口数为p(t),单位时间的出生率c减去死亡率s 为a=c-s, 则人口模型为：