优化模型一：线性规划模型 数学建模课件.ppt

线性规划模型 北京邮电大学 理学院 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论。 线性规划是运筹学的重要分支，也是运筹学的基本部分。线性规划的数学理论是成熟的、丰富的，其解法统一而简单，求出的解是精确的全局最优解。 §1 线性规划模型基础 建立线性规划模型有三个步骤： . 找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号表示它们。 . 找出问题中所有的限制或约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。 . 找到模型的目标或者判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或者最小值。 线性规划问题的一些应用 生产计划问题 运输问题 合理下料问题 投资证券组合问题 分派问题 生产工艺优化问题 线性规划模型的一般形式 §2 线性规划的几何特征 设 满足线性规划问题全部约束条件，则称之为此线性规划问题的一个可行解； 称由所有可行解组成的集合为该线性规划问题的可行域，用D表示； 使目标函数值达到最优的可行解 可行域为凸集： 命题1 若线性规划有最优解，则必在可行域边界达到；若可行域为有界闭集，则最优解必在的某一顶点达到。 命题2 线性规划问题的目标函数(关于不同的目标值是一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近. 命题3 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到(穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点). 在平面上画出可行域（凸多边形）， 计算目标函数在各极点(多边形顶点)处的值。 比较后，取最值点为最优解。 例 用图解法求解下线性规划问题 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 ? 120 2x1 + x2 ? 50 x1, x2 ? 0 用Matlab求解线性规划 一般线性规划的数学模型 min f = cx s.t. Ax ? b Aeq x = beq LB ? x ? UB Matlab求解程序 [x,f]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 具体命令 例 min z = 6x1+3x2+4x3 s.t. x1+x2+x3=120 x1 ≥ 30 0 ≤ x2 ≤50 x3 ≥ 20 用命令X = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lB,UB)编写M文件xxgh1.m ： C= [6 3 4]; A= [0 1 0]; b= [50]; Aeq= [1 1 1]; beq= [120]; LB= [30; 0; 20]; UB= []; [x,fval]= linprog(C,A,b,Aeq,beq,LB,UB); §3 建模实例1：奶制品的加工 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划. 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 问题 一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成 3 公斤A1 ，或在设备乙上用8小时加工成4公斤A2.根据市场需求，生产的A1, A2全部能够售出，且每公斤 A1 获利24元，每公斤A2获利16元. 现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天最多能够加工100公斤的A1, 设备乙的加工能力没有限制。请为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。 问题分析 求什么？ 线性规划模型 Max z = 72x1 + 64x2 s.t. x1+ x2 ≤ 50 12x1+8x2 ≤ 480 3x1≤ 100 x1≥ 0, x2≥ 0 模型分析与假设 比 例 性 软件实现 Max z = 72x1+64x2 s.t. x1+x2 ≤ 50