专题16 三角恒等变换、三角函数的应用（知识精讲）（解析版）.docx

专题十六 三角恒等变换、三角函数的应用 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 三角恒等变换、 三角函数的应用 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简 角的范围 三角函数图象变换 左右平移 由图象求函数的解析式 五个关键点 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题 公式运用及三角函数的图象与性质 二.学法指导 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 2. 给值求值问题的解题策略 ?1?已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. ?2?由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝?α－β?＋β； ②eq α＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)； ③2α＝?α＋β?＋?α－β?； ④2β＝?α＋β?－?α－β?. 3．已知三角函数值求角的解题步骤 ?1?界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. ?2?求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. ?3?结合三角函数值及角的范围求角. 4.辅助角公式及其运用 ?1?公式形式：公式asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin?α＋φ??或asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)cos?α－φ??将形如asin α＋bcos α?a，b不同时为零?的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. ?2?形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 5.公式T(α±β)的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反． 6．利用公式T(α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值． (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． 7.公式T?α±β?的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如eq tan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等. 要特别注意eq tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tan α,1－tan α)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tan α,1＋tan α). 8.证明三角恒等式的原则与步骤 ?1?观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. ?2?证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 9.化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin?ωx＋φ?＋k?或y＝Acos?ωx＋φ?＋k?的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质. 11.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 ?1?方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. ?2?注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响. 12.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条： (1)y＝sin xeq \o(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \o(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin(ωx＋φ) eq \o(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)． (2)y＝sin xeq \o(