2020届高考数学一轮总复习 课时跟踪练（四十一）直接证明与间接证明 理（含解析）新人教A版.doc

PAGE PAGE 1 课时跟踪练(四十一) A组　基础巩固 1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　) A．lg(1＋a2)＞0　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1) C．a2＋3ab＞2b2 D.eq \f(a,b)＜eq \f(a＋1,b＋1) 解析：在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0 ， 所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 答案：B 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值　　　　 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A. 答案：A 3．已知m>1，a＝eq \r(m＋1)－eq \r(m)，b＝eq \r(m)－eq \r(m－1)，则以下结论正确的是(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．a，b大小不定 解析：因为a＝eq \r(m＋1)－eq \r(m)＝eq \f(1,\r(m＋1)＋\r(m))， b＝eq \r(m)－eq \r(m－1)＝eq \f(1,\r(m)＋\r(m－1)). 而eq \r(m＋1)＋eq \r(m)>eq \r(m)＋eq \r(m－1)>0(m>1)， 所以eq \f(1,\r(m＋1)＋\r(m))<eq \f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a<b. 答案：B 4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证eq \r(b2－ac)＜eq \r(3)a”索的因应是(　　) A．a－b＞0 B．a－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 解析：由题意知eq \r(b2－ac)＜eq \r(3)a?b2－ac＜3a2?(a＋c)2－ac＜3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0?－2a2＋ac＋c2＜0?2a2－ac－c2＞0?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0. 答案：C 5．设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 解析：若a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(2,3)，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，但不满足a，b中至少有一个大于1，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，但a<1，b<1，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，但a<1，b<1，故⑤推不出． 对于③，若a＋b>2，则“a，b中至少有一个大于1”成立． 证明(反证法)：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾． 因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C. 答案：C 6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设为________． 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案：x≠－1且x≠1 7．[一题多解]设a>b>0，m＝eq \r(a)－eq \r(b)，n＝eq \r(a－b)，则m，n的大小关系是________． 解析：法一(取特殊值法)　取a＝2，b＝1，得m<n. 法二(分析法)　eq \r(a)－eq \r(b)<eq \r(a－b)?eq \r(b)＋eq \r(a－b)>eq \r(a)?a<b＋2eq \r(b)·eq \r(a－b)＋a－b?2eq \r(b)·eq \r(a－b)>0，显然成立． 答案：m<n 8．已知点An(n，an)为函数y＝eq \r(x2＋1)图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________． 解析：由条件得cn＝an－bn＝eq \r(n2＋1)－n＝eq \f(1,\r(n2＋1)＋n)， 所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1＜cn. 答案：cn＋1＜cn 9．[一题多解]在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形． 证明：法一　由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin A