清华大学2016年暑期学校测试真题.docVIP

PAGE PAGE 1 清华大学2016年暑期学校测试真题 已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，有，于是的取值范围是. 在锐角中，，则的面积是 . 【答案】 【解析】解法一：由正弦定理可得 ， 其中R为外接圆半径，于是 ， 从而根据余弦定理 ， 解得（此时B为钝角，舍去）或.因此的面积 . 解法二：根据正弦定理 ， 于是 ， 其余同解法一. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于A，C两点，直线的斜率为1，过点作直线与椭圆交于B，D两点，且，则四边形的面积是 . 【答案】 【解析】由焦点弦长公式，可得四边形的面积 其中. 在正方体的底面内有一点，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】作平面，如下页图，根据题意，点在线段上运动. 于是 , 当位于的中点时取得等号，因此所求的最大值为. 已知集合,则 . 【答案】-9 【解析】根据题意，于是， 从而由韦达定理得 ， 于是. 圆心为点的单位圆沿轴正向滚动，初始时刻点的坐标为，当圆心运动到时，点的坐标为 . 【答案】 【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了， 于是点旋转到点； 再考虑平移，可得 已知等差数列的前项和为，且，，则 . 【答案】-2121 【解析】根据题意，关于的方程 有两个实数根和，考虑到形如， 因此由可得， . 备注：一般地，若等差数列的前项和满足且，则. 数列满足，，，已知的通项可以表示成的形式，则数列通项的一个表达试为 . 【答案】 【解析】根据题意，有 于是考虑周期为3，对应， 由得 解得，，取，于是可取. 定义，且. 集合，集合. 求，. 设为集合的元素个数，求的最小值. 【解析】(1)根据的定义，有,. (2)设集合中有个元素既不在中也不在中，个元素只在集合中，个元素只在集合中，个元素同时在集合,中，如图. 则 当,时等号成立，即，且时可取到最小值，也可以直接取，因此所求的最小值为2016. 已知，自变量、相位、函数值的部分取值如下表 3 求的解析式； 求的单调递增区间； 求在内的所有零点. 【解析】(1)根据题意 ， 也即 . (2)函数的单调递增区间为. (3)函数的零点形如 ， 或 ， 解得其在内的所有零点为. 已知圆，为圆与轴的两个不同的交点，是圆在点处的切线，为圆上不与重合的点，过点的切线交于两点，与交于点. 求与之间的数量关系； 存在一点且，使得的最小值是，求的值. 【解析】(1)如图，设在轴上的投影为，则由梯形的性质可得其对角线的交点为线段的中点. 因此与之间的数量关系为. (2)根据题意 ， 由于，，因此只有 解得. 已知直线为曲线在点处的切线. 求直线的方程 求证：当时，直线除切点外恒在的上方. 【解析】(1)记，则的导函数 ， 于是切线方程为 . (2)只需要证明当时，有 ， 也即 . 因此只需要证明 . 即 . 这显然成立，因此原命题得证. 本文档由华夏园教育提供