简单的线性规划教学设计(二) 人教课标版(优秀教案).docVIP

《简单的线性规划》教学设计（二） 【教学目标】 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值． 【重点难点】 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点． 如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点． 【教学步骤】 一、新课引入 　　我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用． 线性规划 　　先讨论下面的问题 　　设,式中变量、满足下列条件 ?????????? ① 　　求的最大值和最小值． 我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中 内部且包括边界．点不在这个三角形区域内,当 时,,点在直线上．作一组和平等的直线 　　可知,当在的右上方时,直线上的点满足． 即,而且往右平移时,随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于的直线中,以经过点的直线,所对应的最大,以经过点的直线,所对应的最小,所以 　　在上述问题中,不等式组①是一组对变量、的约束条件,这组约束条件都是关于、 的一次不等式,所以又称线性约束条件． 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式,叫做目标函数,由于又是、的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题． 　　线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示． 　　一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题,满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域,其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解． 【应用举例】 例.解下列线性规划问题:求的最大值和最小值,使式中的、满足约束条件 　　解:先作出可行域,见图中表示的区域,且求得． 作出直线,再将直线平移,当的平行线过 点时,可使达到最小值,当的平行线过点 时,可使达到最大值． ∴ 　　通过这个例子讲清楚线性规划的步骤,即: 　　第一步:在平面直角坐标系中作出可行域； 　　第二步:在可行域内找出最优解所对应的点； 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值． 例.解线性规划问题:求的最大值,使式中的、满足约束条件 解:作出可行域,见图,五边形表示的平面区域． 作出直线将它平移至点,显然,点 的坐标是可行域中的最优解, 它使达到最大值,解方程组得点的坐标为． ∴? 这个例题可在教师的指导下,由学生解出．在此例中,若目标函数设为,约束条件不变,则的最大值在点处取得．事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言,当的斜率为负数时,即时,若（直线的斜率）时,线段上所有点都是使取得最大值（如本例）；当时,点处使取得最大值（比如:时）,若,可请同学思考． 二、随堂练习 ．求的最小值,使式中的、满足约束条件 ．求的最大值,使式中、满足约束条件 答案．时,．．时,． 三、总结提炼 ．线性规划的概念． ．线性规划的问题解法． 四、布置作业 ．求的最大值,使式中的、满足条件 ．求的最小值,使、满足下列条件 为整数为整数 为整数 为整数 答案．时, ．在可行域内整点中,点使最小, 扩展资料 线性规划的解 课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解,其实线性规划的解有许多不同的情况,除了有唯一的最优解的情况外,还有 （）无可行解,从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况． （）有无穷多个最优解 例.已知、满足,求的最大值 我们用图解法求解． 由于目标函数等高线和可行域的边界线平行,沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线,最终停留在直线上,所以线段上的所有点都是最优解． 线性规划如果有最优解,只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况,不会出现其他情况,这就是下面的命题． 命题:如果线性规划有两个不同的最优解,那么对任意 是最优解． 这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到,这里就不再证明了．事实上证明是平凡的,只要注意到在线段上,利用线性性质,读者就可以自己证明． （）有可行解,无最优解． 例.已知,求的最大值.? 我们用图解法求解． 从图中可以看出随着目标函数等高线的移动,目标函数值会越来越大,没有上界．有的书上称之为无界解． 无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域,就一定是有界的,于是有命题? 如果统性规划可行域是闭区域,那么一定有最优解． 只要注意到线性函数是连续函数,上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理． 从上面的例子中我们可以看出,如果有最优解,那么就有可行域的顶点是最优