第二章数列2.3等差数列的前n项和导学案.doc

2.3　等差数列的前n项和(第2课时) 学习目标 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,提高应用意识. 合作学习 一、设计问题,创设情境 复习引入 1.通项公式:? 2.求和公式:? 3.两个公式中含有五个量,分别是　　　　,把公式看成方程,能解决几个量?? 4.Sn是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值? 5.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,如何求数列{an}的通项公式? 二、信息交流,揭示规律 6.两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”. an=a1+(n-1)d, Sn==na1+d. 7.Sn是关于n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最值,方法更具有一般性. Sn=　　　　　　　　,　　　　　　　有最大值;　　　　　　　有最小值.? 8.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an如何求数列{an}的通项公式? Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2) 只要两式相减就会得到an=Sn-Sn-1(n≥2),只不过这个表达式中不含有a1,需要单独考虑a1是否符合an=Sn-Sn-1. 类似于分段函数. an=　　　　　　　,最后验证是否可以用一个式子来表示.? 三、运用规律,解决问题 9.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗? 10.已知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数列? 四、变式训练,深化提高 12.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项公式an; (2)求{an}前n项和Sn的最大值. 13.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数列? 五、反思小结,观点提炼 参考答案 一、设计问题,创设情境 1.an=a1+(n-1)d 2.Sn==na1+d 3.Sn,an,n,d,a1 二、信息交流,揭示规律 7.n2+n= 8.an= 三、运用规律,解决问题 9.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程,然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式. 解:由题意知S10=310,S20=1220, 将它们代入公式Sn=na1+d,得到 解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6, 所以Sn=4n+×6=3n2+n 这就是说,已知S10与S20可以确定这个数列的前n项和的公式, 这个公式是Sn=3n2+n. 10.解:方法一:令公差为d,则 d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 所以Sn==-. 又n∈N*,所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值. 方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 其通项公式为an=5+(n-1)×=-n+. 因为a1=5>0,d=-<0,所以数列{an}的前n项和有最大值. 即有解得即7≤n≤8,又n∈N*, 所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值. 11.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,Sn=n2+n,　① Sn-1=(n-1)2+(n-1),　② 由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-, 又当n=1时,2×1-=a1,所以当n=1时,a1也满足an=2n-, 则数列{an}的通项公式为an=2n-(n≥1,n∈N). 这个数列是等差数列,an-an-1==2(这是一个与n无关的常数). 四、变式训练,深化提高 12.解:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,解出a1=3,d=-2, 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2, 所以当n=2时,Sn取到最大值4. 13.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=, 当n≥2时,Sn=n2+n+1,　①　Sn-1=(n-1)2+(n-1)+1,　② 由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-, 又当n=1时,2×1-≠a1,所以当n=1时,a1不满足an=2n-, 则数列{an}的通项公式为an= 这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=…=2. 五、反思小结,观点提炼 略 随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵