【数学】223向量数乘运算及其几何意义（人教a版必修4）1.ppt

问题提出 1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？ 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究. a b a a b b a+b a- b 探究一：向量的数乘运算及其几何意义 思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？ a a O a a A B C －a －a －a O M N P a＋a＋a （－a）＋（－a）＋（－a） 思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a. 思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？ a a O a a A B C －a －a －a O M N P 思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？ a a a 思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？ （1）|λa|=|λ||a|； （2）λ>0时,λa与a方向相同； λ<0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0. 思考6：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ A B C D M 探究二:向量的数乘运算性质 思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b， a可分别转化为什么运算？ -2× (5a)= -10a ； 2a ＋ 2b = 2(a+b)； (3＋ )a =3a＋ a. 思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？ λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb. 思考3：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？ 思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？ 思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？ 思考6：若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ 思考7：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ A B P O 思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？ λ(xa±yb）=λxa±λyb. 理论迁移 例1 计算 （1）（－3）×4a； （2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）. 2b 3b a b O 例2 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =a＋b， =a＋2b， =a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ a b A B C 例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表示向量 、 、 、 M A B D C a b 小结作业 1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量. 2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.