高中数学3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测新人教b版选修2-.docxVIP

3.2 第 3 课时 向量法在空间垂直关系中的应用 一、选择题 1．若直线 l ∥ α ，且 l 的方向向量为 (2 ， 1 ，则 为 () 1) ，平面 α 的法向量为 (1 ， ，2) 2 A．－ 4 B．－ 6 C．－ 8 D． 8 [ 答案 ] C [ 解析 ] ∵l ∥ α ，∴ l 与平面 α 的法向量垂直． 故 2×1＋ 1× ＋1×2＝ 0， 2 解得 m＝－ 8，故选 C. 2．若 ＝ (1 ，－2,2) 是平面 α 的一个法向量， 则下列向量能作为平面 α 法向量的是 ( ) n A．(1 ，－ 2,0) B． (0 ，－ 2,2) C．(2 ，－ 4,4) D． (2,4,4) [ 答案 ] C [ 解析 ] ∵(2 ，－ 4,4) ＝ 2(1 ，－ 2,2) ＝2n， ∴(2 ，－ 4,4) 可作为 α 的一个法向量． 3．(2010 ·雅安高二检测 ) 已知向量 a ＝ (1,1,0) ， ＝ ( － 1,0,2) ，且 ＋ 与 2 － b 互相 b ka b a 垂直，则 k＝ ( ) 7 A. 5 B． 1 3 D. 1 C. 5 5 [ 答案 ] A [ 解析 ] ka＋ b＝ ( k－ 1， k, 2),2 a－ b＝ (3,2 ，－ 2) ． 若 ka＋ b 与 2a－b 垂直，则 ( ka＋b) ·(2 a－b) ＝ 0. 3( k－ 1) ＋2k－ 4＝0. 7 解得 k＝ 5，故选 A. 4．已知 A(3,0 ，－ 1) 、 B(0 ，－ 2，－ 6) 、C(2,4 ，－ 2) ，则△ ABC是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [ 答案 ] C - 1 - [ 解析 ] → → AB＝ ( － 3，－ 2，－ 5) ， AC＝ ( － 1,4 ，－ 1) ，则 → · → ＝－ 3×( － 1) －2×4＋ 5＝ 0. AB AC → → ∴AB⊥ AC，故△ ABC为直角三角形． → → 故选 C. 又| AB| ≠|AC| 二、填空题 5．在直角坐标系 O—xyz 中，已知点 P(2cos x＋ 1,2cos2 x＋ 2,0) 和点 Q(cos x，－ 1,3) ， 其中 x∈[0 ， π ] ，若直线 OP与直线 OQ垂直，则 x 的值为 ________． [ 答案 ] π π 2 或 3 [ 解析 ] → → － 2cos2x－ 2＋3×0＝ 2cos 2 2 ∵OP· OQ＝ cos x(2cos x＋ 1) x＋ cos x－ 2(2cos x－ 1) － 2 2 ＝－ 2cos x ＋ cosx. 2 ∴－ 2cos x＋ cosx＝ 0， 1 cos x＝ 0 或 cos x＝2， π 又∵ x∈[0 ， π ] ，∴ x＝ 2 或 3 . 6．已知点 P 是平行四边形 所在平面外一点， 如果 → ＝ (2 ，－1，－ 4) ，→ ＝ (4,2,0) ， ABCD AB AD → ＝ ( － 1,2 ，－ 1) ．对于结论：① ⊥ ；② ⊥ ；③ →是平面 的法向量；④ → ∥→ . AP AP AB AP AD AP ABCD AP BD 其中正确的是 ________． [ 答案 ] ①②③ [ 解析 ] → → → → AB· AP＝2×( － 1) ＋ ( －1) ×2＋ ( －4) ×( － 1) ＝－ 2－ 2＋ 4＝0，则 AB⊥ AP. → → → → AP· AD＝4×( － 1) ＋2×2＋ 0＝ 0，则 AP⊥AD， ∵ →⊥ → ， → ⊥→ ， → ∩ →＝ ， AP AB AP AD AB AD A → → ∴AP⊥平面 ABCD，故 AP是平面 ABCD的一个法向量． 三、解答题 7．已知 、 、 、 D 是空间四个不同的点，求证： ⊥ 的充要条 A B C AC BD 2 2 2 2 件是 AD＋BC＝ CD＋ AB. [ 证明 ] → → → 设AB＝ a，AC＝ b，AD＝ c，则 AC⊥ BD? b·(c－ a) ＝ 0? a· b b· c， - 2 - 2222 → 2 → 2 → 2 → 2 2 2 2 ＋| a| 2 AD＋BC＝ CD＋ AB | ＋ | BC| ＝| CD| ＋ | AB| ? | c| ＋ ( b－a) ＝ | c－ b| · ? | AD ? a b ＝ · ， b c 2 2 2 2 ∴AC⊥ BD? AD＋ BC＝ CD＋ AB. 8．如图，△ ABC中， AC＝ BC，D为 AB边中点， PO⊥平面 ABC，垂足 O 在 上，求证： ⊥ . CD AB PC [ 证