第9章第6节几何概型.docx

课时作业 A 组 基础对点练 1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形  ABCD 中，其中  AB＝2，BC＝1，则 质点落在以  AB 为直径的半圆内的概率是  (  ) π π A. 2 B．4 π π C.6 D．8 1 2 阴影面积 2π× 1 解析：设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)＝长方形面积 ＝ 1×2 π 4. 答案： B 2．(2017 ·辽宁五校联考 )若实数 k∈[－ 3,3]，则 k 的值使得过点 A(1,1)可以作两条 2 2 5 直线与圆 x ＋y ＋ kx－2y－ 4k＝0 相切的概率等于 () 1 1 A. 2 B．3 1 1 C.4 D．6 解析：由点 A 在圆外可得 k＜0，由题中方程表示圆可得 k＞－ 1 或 k＜－ 4，所以 1 － 1＜ k＜0，故所求概率为 6，故选 D. 答案： D ．在正三棱锥 内任取一点 P-ABC＜ 1 S-ABC 的概率是 () 3 S-ABC P，使得 V 2V 7 3 A. 8 B．4 1 1 C.2 D．4 解析：如图，分别取 D， E，F 为 SA，SB，SC 的中点，则满足条件的点 P 应在 △ 1 △ 1 V 7 DEF -ABC 棱台 DEF -ABC 内，而 S DEF ＝ 4S ABC，∴VS-DEF＝ 8VS-ABC.∴P＝ VS-ABC ＝8.故选 A. 答案： A ．在区间 [0,1] 上随意选择两个实数 ， ，则使 x 2＋ y2≤1 成立的概率为 () 4 x y π π A. 2 B．4 π π C.3 D．5 解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 x2＋ y2≤1 成立的平 1 面区域为以坐标原点 O 为圆心， 1 为半径的圆的 4与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围 π 4 π 成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率 P＝1＝4.故选 B. 答案： B 如图所示，正方形的四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0， 1)，曲线 y＝x2 经过点 B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的 概率是( ) 1 1 A. 2 B．4 1 2 C.3 D．5 2 1 3 1 1 解析：由题意可知，阴影部分的面积 S 阴影＝ 1x dx＝3x |0 ＝3，又正方形的面 0 1 3 1 积 S＝1，故质点落在图中阴影区域的概率 P＝1＝ 3，故选 C. 答案：C x－y＋1≥0 6．(2017 ·重庆检测 )在不等式组 x＋y－2≤0 所表示的平面区域内随机地取一 y≥0 点 P，则点 P 恰好落在第二象限的概率为 ________． x－y＋ 1≥ 0 解析：画出不等式组 x＋y－ 2≤ 0 表示的平面区域 (如图中阴影部分所示 )，因 y≥0 1 3 9 1 1 △ △ 1 为 S△AOD＝ ＝2. S△ABC 9 9 42 2 答案： 9 7．(2017 ·邢台摸底考试 )有一个底面半径为 1，高为 3 的圆柱，点 O1，O2 分别为 这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O1， 2 的距离都大于 1 的概率为 __________． O 4π 3 2 5 解析：依题意，所求的概率等于 1－ 3 ×1 ÷ (×π1 ×3)＝ 9. 5 答案： 9 8．(2017 ·沈阳模拟 )某人家门前挂了两盏灯笼， 这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的 5 秒内任意时刻等可能发生， 则它们通电后发光的时刻相差不超 过 3 秒的概率是 __________． 解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为 x，y，则由题意可知 0≤ x≤5,0≤y≤5， 它们通电后发光的时刻相差不超过 3 秒，即 |x－y|≤3，作出图形如图所示，根据 几何概型的概率计算公式可知， 它们通电后发光的时刻相差不超过 3 秒的概率 P 1 2×2×2×2 21 1－ 5×5 ＝25. 21 答案： 25 9．设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝ 0.若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数， b 是从区间 [0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率． 解析：设事件 A 为“方程 x2＋ 2ax＋ b2＝0 有实根 ”． 当 a≥0，b≥0 时，方程 x2 ＋ 2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b.试验的全部结果所构成的区域为 {( a， b)|0≤ a≤ 3,0≤b≤2} ，构成事件 A 的区域为 {( a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b} ，根 1 2 3×2－2×2 2 据条件画出构成的区域 (略)，可得所求的概率为 P(A)＝ 3× 2 ＝ 3. 1