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利用轴对称求最短距离问题
基此题引入 : 如图( 1),要在公路道 a上修建一个加油站,有A,B两人要
去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最
短?
你可以在 a上找几个点试一试 , 能发现什么规律 ?
·B ·B ·B
·A ·A ·A
a
M
a
M N
a
·A ′
·A ′
图 1 图 2 图 3
思路分析: 如图 2,我们可以把公路 a 近似看成一条直线,问题就是要在 a
上找一点 M, 使 AM与 BM的和最小。 设 A′是 A 的对称点, 本问题也就是要使 A′
M与 BM的和最小。在连接 A′B 的线中,线段 A′B 最短。因此,线段 A′B 与直
线 a 的交点 C 的位置即为所求。
如图 3,为了证明点 C 的位置即为所求,我们不妨在直线 a 上另外任取一点
N,连接 AN、 BN、 A′N。
因为直线 a 是 A, A′的对称轴,点 M,N在 a上,所以 AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B
在△A′BN中,
∵A′B<A′N+BN
∴AM+B<MAN+BN
即 AM+BM最小。
教师要充分关注学生的学习过程, 遵循学生认知规律, 使学生不仅获得数学
基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质。同
时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外,
还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。
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一、三角形中的轴对称
题目 1: 如图 , 在△ ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC边上的中点 ,E 是 AB边上的一
动点 , 则 EC+ED的最小值是 __
点评: 此题只要把点 C、 D 看成基此题中的A、B两镇,把线段 AB看成燃气管道 a,问
题就可以迎刃而解了,此题只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。
A
C
E
B
D
第 1 题图
二、四边形中的轴对称
题目 :2: 如图,正方形 ABCD的边长为 8, M 在 DC上,且
DN+MN的最小值为多少?
点评: 此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质,点
正好是点 B,最小值为 MB= 10。
A D
DM=2,N是 AC上的动点,则
D 关于直线 AC的对称点
M
N
B
第 2 题图
C
三、圆中的轴对称
题目 3:已知:如图,已知点 A 是⊙ O上的一个六等分点,点 B 是弧 AN的中点,点 P 是
半径 ON上的动点,若⊙ O的半径长为 1,求 AP+BP的最小值。
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B
B
. .
第 3 题图
点评: 这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点 B 的对称点 B′在圆上, AB′交 ON
于点 p′ , 由∠ AON﹦ 60° , ∠B′ON﹦ 30°,∠ AOB′ ﹦ 90°,半径长为 1 可得 AB′﹦ 2 。
当点 P 运动到点 p′时,此时 AP+BP有最小值为 2
四、立体图形中的轴对称
题目 5 如图 1 是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的 A 处,它想吃
到盒表面对侧中点 B 处的食物,已知盒高 h= 10cm,底面圆的周长为 32cm, A 距离下底面
3cm.请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为 cm.
B ′
E
H
h·B
h
A
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