2022版高考人教版数学一轮学案：第五章第四讲　数列求和含解析.docVIP

第四讲　数列求和 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　公式法求和 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式． (2)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝__na1＋eq \f(n?n－1?,2)d__＝__eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n__. (3)等比数列的前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝__\f(a1?1－qn?,1－q)__，q≠1.)) 注意等比数列公比q的取值情况，要分q＝1，q≠1. 知识点二　分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和． 知识点三　倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 知识点四　错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 知识点五　裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 知识点六　并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解． eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 1．常见的裂项公式 (1)eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)； (2)eq \f(1,n?n＋k?)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))； (3)eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))； (4)eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； (5)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)；eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))； (6)eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))). eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn＝eq \f(a1－an＋1,1－q).(　√　) (2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．(　√　) (3)当n≥2时，eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1))).(　√　) (4)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋2n＋3))的前n项和可用分组求和．(　√　) [解析]　(1)因为数列{an}为等比数列，且公比不等于1.则其前n项和为Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－a1qn,1－q)＝eq \f(a1－an＋1,1－q). (2)因为sin21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和． (3)因为eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＝eq \f(1,2)·eq \f(n＋1－?n－1?,?n－1??n＋1