专题12 立体几何中的平行与垂直问题-冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破含解析.docVIP

专题12 立体几何中的平行与垂直问题 【自主热身，归纳总结】 1、 设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m∥n，n?α，则m∥α； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α∥β，m?α，n?β，则m∥n； ④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β. 其中正确命题的序号为________． 【答案】.④　 【解析】：对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n也可能异面，故③错误． 2、已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题： ①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β； ②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n. 其中是真命题的是________(填序号)． 【答案】③④　 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故①不正确；因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故②不正确．同理，我们以正方体的模型来观察，可得③④正确． 3、若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． ①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线； ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直； ③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线； ④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线． 【答案】：②④ 4、已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m?β.给出下列命题： ①α∥β?l⊥m；　②α⊥β?l∥m； ③m∥α?l⊥β；　④l⊥β?m∥α. 其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)． 【答案】： ①④　 【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m?β，所以l⊥m； ②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l?β，又因为m?β，所以l与m或异面或平行或相交； ③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β； ④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m?β，所以m∥α. 5、 设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b?α，c∥α，则b∥c；②若b?α，b∥c，则c∥α； ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 【答案】： ④　 【解析】：①b和c可能异面，故①错；②可能c?α，故②错；③可能c∥β，c?β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确． 6、在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 下列四个命题： (1) BC∥平面PDF； (2) DF∥平面PAE； (3) 平面PDF⊥平面ABC； (4) 平面PDF⊥平面PAE. 其中正确命题的序号为________． 【答案】：(1)(4) 【解析】 由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为 DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF， 且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM， 则DM⊥平面PAE.又DM?平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE， 所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)． 7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是________． 【答案】：①③ 【解析】　过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确． 【问题探究，变式训练】 : 例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证： (1) 平面AB1E⊥平面B1BCC1； (2) A1C∥平面AB1E. 【解析】： (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AE?平面ABC，所以CC1⊥AE 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为BC?平面B1BCC1，CC1?平面B1BCC