圆与圆的位置关系《高中数学第一轮复习教案》.DOCVIP

§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 2014高考会这样考　1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程． 复习备考要这样做　1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想． 1． 直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. eq \o(\s\up7(　　　方法),\s\do5(位置关系　　　)) 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 2. 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \o\al(2,1)(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \o\al(2,2) (r2>0). 方法 位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 [难点正本　疑点清源] 1． 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的． 2． 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|＝eq \r(1＋k2)|xA－xB| ＝eq \r(?1＋k2?[?xA＋xB?2－4xAxB]). 1． (2011·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 答案　2x－y＝0 解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0. 2． 若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________． 答案　(－eq \r(3)，eq \r(3)) 解析　由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是eq \f(2,\r(k2＋1))>1，解得－eq \r(3)<k<eq \r(3)，即k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))． 3． 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 答案　(－13,13) 解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1. ∵d＝eq \f(|c|,\r(122＋52))＝eq \f(|c|,13)，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)． 4． 从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦 值为 (　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,5) C.eq \f(\r(3),2) D．0 答案　B 解析　圆的方程整理为(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)， ∴sin∠APC＝eq \f(1,\r(5))， 则cos∠APB＝cos 2∠APC ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))))2＝eq \f(3,5). 5． 圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2. ∴|C1C2|＝eq \r(13)，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|<r1＋r2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线. 题型一　直线与圆的位置关系 例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长． 思维启迪：直线与圆的交点