单纯形法 PPT课件.ppt

* 此时对应的LP问题为： 0 1 * 当 时，不管 取何值，均有目标函数 取得最大值1。此时约束方程为： 其中 为基变量。 用非基变量表示出基变量： 其中， 为自由变量。设为 有: 其中c是满足非负性的任意常数。 * 再由 的非负性，知： 解出 （其中 ） 最优解为： 最优值为：-1 * 2、无最优解的两种情况： ⑴ 无界解 例3 解LP问题： 解： 对单纯形矩阵作初等行变换，有： * ×1/2 ×（2） 注意到－6所在的列无正元 素，将基变量 及目 标函数用非基变量 表 示为 * 从目标函数看，若令非基变量 无限增大，Z也无限 性，即该LP问题所追求的目标函数是无界的，即无最小 值，于是该LP问题无最优解。 减小，且没有影响 的非负 * ⑵ 无可行解 例4 求解LP问题 解：可行域为空集，无可行解。 * 下面先把此LP问题化为标准型，然后用单纯形法大M求解。 对单纯形矩阵作初等行变换，有： * 从最后一个矩阵可看出，此LP问题无可行基，当然就无 可行解。 * LP当前解已是最优的四大特征： ⑴ 存在一组(初始)可行基（其系数矩阵为单位阵）。 ⑵ 检验行的基变量系数=0。 ⑶ 检验行的非基变量系数≥ 0。 全部〉0?唯一解。 存在=0?无穷多个解。 ⑷ 常数列向量≥0。 下面的问题是：所给LP的标准型中约束矩阵中没有现成的 可行基怎么办？ * 2.2 单纯形法的表格形式书例2.1 P18 表格：P25 * 作业 P79 1.3（2），1.7（1） * 大M法目标是尽快把人工变量从基变量中全部“赶”出去（如果能全部“赶”出去的话）。所用方法除了大M法外，还有下面的两阶段法。 两阶段法 用大M法处理人工变量时，若用计算机处理，必须对M给出 一个较大的具体数据，并视具体情况对M值作适当的调整。 为了克服这一麻烦，下面的两阶段法将问题拆成两个LP问 题分两个阶段来计算： 2.3 大M法和两阶段法 * 两阶段法的第一阶段求解一个目标中只包含人工变量的LP问题，即令目标函数中其它变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取1），在保持原问题约束不变的情况下求这个目标函数极小化的解。 显然在第一阶段中，当人工变量取值为0时，目标函数值也为0。这时候的最优解就是原问题的一个基可行解。如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原LP问题无可行解。 * 让拟进基变量增加，这种增加是有条件的，是在不影响基变量非负的前提下的增加。在这个前提下，最先为零的变为非基变量。 * ④目标函数中显现的是非基变量，正所谓“群众是真正的英雄”。只要有“群众”能当领导（进入基），使目标函数增加，（某非基增加，目标函数还会增加）我们的“迭代”（求索）就不会停止。 * 第二章 单纯形法2.1单纯形法原理 * 一、基础定理 定理1 若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。 定理2 线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域 （凸集）的顶点。 定理3 若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶 点处取得。 由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。 * 若LP问题有最优解的话，定在可行域的某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本可行解，一个自然的想法是：找出所有的基本可行解。 因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”，从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大，致使此路行不通。 * 换一种思路：若从某一基本可行解（今后称之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善，直至最优。这需要解决以下三个问题： 1.如何找到一个初始的基本可行解。 2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了最优解。 3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善了的基本可行解。 * 定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。 定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换 一个基变量。对应的基称为相邻可行基。 例 LP问题 二、思路解析 * 当前可行基{ }所对应的基本可行解 显然不是最优。 因为从经济意义上讲， 意味着该厂不安排生产，因此没有利润。 相应地，将 代入目标函数得 从数学角度看，若让非基变量 取值从零增加， (对应可行域的 ) * 相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个 新的基本可