初中数学常见的模型方法专题-专题1 数与式的规律问题.docx

数与式的规律问题 【方法总结】解答数与式规律问题的关键是仔细分析数（式）表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题． 类型1 数（式）列中的规律 【解题关键】找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律解题． 一、递推型 例题1 1. 观察下面一列数，探求其规律： ，，，，，，… （1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？ （2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？ 【答案】（1），，；（2），与0越来越接近 【解析】 【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第个数是； （2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0． 【详解】解：（1）第个数是， 第7个，第8个，第9个数分别是，，． （2）第2015个数是，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近． 【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题． 例题2 2. 观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　) A. 2925 B. 2025 C. 3225 D. 2625 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找到规律：即可求解． 【详解】解：∵13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …， ∴， 53+63+73+83+93+103 ()-() ． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 变式1 3. 已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值． 【详解】解：∵，，，， ∴=＋＋＋=2 ∵，，， ∴=＋＋＋ =2 =22 同理可得：=23 ∴=2n ∵ ∴ ∴ ∵29=512，210=1024，211=2048 ∴ ∴n=10 故选B． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键． 变式2 4. 观察下面三行有规律的数： -2，4，-8，16，- 32，64，……① -4，2，-10，14，- 34，62，……② 4，-8，16，- 32，64，-128，……③ （1）第一行数的第10个数是__________ ； （2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________； （3）取每行的第100个数，计算这三个数和． 【答案】（1）1024；（2）1022，；（3）－2． 【解析】 【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案； （2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案； （3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可． 【详解】解：（1）∵-2，4，-8，16，- 32，64，……， ∴该组数据的规律是：，，，，，，……， ∴第一行数的第10个数是； （2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2， 第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2， 则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是， （3）∵第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是 ∴， 即这三个数的和为－2． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键． 变式3 5. 观察给定的分式，探索规律： （1），，，，…其中第6个分式是__________； （2），，，，…其中第6个分式是__________； （3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6 （2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11, （3）分子是以b为底，第一