初中数学常见的模型方法专题-专题3 和坐标有关的规律性问题.docxVIP

和坐标有关的规律性问题 【方法梳理】“2＋4” （1）：“2”－－两种规律 ①“周期性规律”－－计算直到找到周期数止，再找变化规律； ②“渐变性规律”－－般计算前三个，从中找到变化规律； （2）“4”－－四个解题注意 ①求什么找什么的规律； ②变化规律最好用算式而不得数表示； ③找算式中数字与序号间的变化规律； ④找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）； 类型1周期性规律 例题 1. 在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的幸运点．已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为（ ） A. (-3，1) B. (0，-2) C. (3，1) D. (0，4) 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目已知条件先表示出6个坐标，观察其中的规律即可得出结果． 【详解】解：由题可得：A1(3，1)，A2(0，4)，A3(-3，1)，A4(0，-2)，A5(3，1)，A6(0，4)…， 所以是四个坐标一次循环，2020÷4=505， 所以是一个循环的最后一个坐标， 故A2020(0，-2)， 故选：B 【点睛】本题主要考查的是找规律，根据题目给的已知条件找出规律是解题的关键． 变式1 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为．已知，作点N关于点A的对称点N1，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，依此类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. （5，4） 【答案】A 【解析】 【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解． 【详解】解：由题意作出如下图形：N点坐标为（-1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6=336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键． 变式2 3. 如图，边长为的等边，边在轴上，点在轴的正半轴上，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，，依此规律继续作等边，则的横坐标________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据正三角形与旋转的特点得到旋转次为一个循环，故可求出的横坐标． 【详解】解：∵△ABC是正三角形，BO⊥AC ∴∠ABO=30° 同理=30°， 360°÷30°=12， ∴的横坐标旋转次为一个循环， ∵， ∴与在同一直线上，即轴上， ∴的横坐标为． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查坐标的旋转变换，解题的关键是根据图形的特点找到变换规律． 变式3 4. 如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，点P2020的坐标是__． 【答案】（5，0） 【解析】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2020÷6＝336…4， 当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）， 故答案为：（5，0）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 类型2渐变性规律 例题 5. 如图，已知A1（0，1），A2（，），A3（，），A4（0，2），A5（，），A6（，），A7（0，3），A8（，），A9（，），…，则点A2010的坐标是______． 【答案】（，） 【解析】 【分析】观察所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A1、A4、A7…横坐标为0，纵坐标依次加1；A2、A5、A8…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；A3、A6、A9…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；点