高三理科数学二轮复习专题整合高频突破习题：第三部分题型指导考前提分题型练5.docx

高三理科数学二轮复习专题整合高频突破习题：第三部分题型指导考前提分题型练5 高三理科数学二轮复习专题整合高频突破习题：第三部分题型指导考前提分题型练5 PAGE / NUMPAGES 高三理科数学二轮复习专题整合高频突破习题：第三部分题型指导考前提分题型练5 题型练 6 大题专项 (四) 立体几何综合问题 1. 如图 ,已知四棱台 ABCD-A 1 B1C1D 1 的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形 .A1A= 6,且 A1A⊥ 底面 ABCD. 点 P,Q 分别在棱 DD 1,BC 上 . 若 P 是 DD 1 的中点 ,证明 :AB1⊥ PQ; 若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的余弦值为 ,求四面体 ADPQ 的体积 . 2.如图 ,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC ,侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角为 60°,AA1= 2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 ,点 G 为 △ ABC 的重心 ,点 E 在 BC1 上 ,且 BE= BC1. (1) 求证 :GE∥平面 AA B B; 1 1 (2) 求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐角二面角的余弦值 . 3. 如图 ,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形 ,AB⊥平面 BEC,BE⊥ EC,AB=BE=EC= 2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点 . 求证 :GF∥平面 ADE ; 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 . 4. 在如图所示的组合体中 ,ABCD-A 1B1C1D1 是一个长方体 ,P-ABCD 是一个四棱锥 .AB= 2,BC= 3,点 P ∈平面 CC 1D1D,且 PD=PC= . 证明 :PD⊥平面 PBC; 求 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值 ; 当 AA1 的长为何值时 ,PC∥平面 AB1D. 5. 如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD ,AC⊥ AD,AB⊥ BC,∠ BAC= 45°,PA=AD= 2,AC= 1. 证明 :PC⊥AD ; 求二面角 A-PC-D 的正弦值 ; (3) 设 E 为棱 PA 上的点 ,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长 . 6.已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC,BA=AD=DC= BC=a ,E 是 BC 的中点 ,将 △ BAE 沿 AE 翻折成 B1AE,使平面 B1AE⊥平面 AECD ,F 为 B1D 的中点 . 求四棱锥 B1-AECD 的体积 ; 证明 :B1E∥平面 ACF ; (3) 求平面 ADB1 与平面 ECB 1 所成锐二面角的余弦值 . 参考答案 题型练 6 大题专项 (四) 立体几何综合问题 1.解 由题设知 ,AA1,AB,AD 两两垂直 ,以 A 为坐标原点 ,AB,AD ,AA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B1 (3,0,6),D(0,6,0),D1 (0,3,6),Q(6,m,0),其中 m=BQ ,0 ≤m≤6. (1)证明若 P 是 DD 1 的中点 ,则 P 又 = (3,0,6),于是 = 18-18= 0, 所以 ,即 AB1⊥ PQ. (2)由题设知 , = (6,m-6,0), = (0,- 3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量 . 设 n1= (x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量 ,则 取 y= 6,得 n1= (6-m,6,3). 又 平 面AQD 的 一 个 法 向 量 是 n2= (0,0,1), 所 以 cos< n1,n2>= . 而二面角 P-QD-A 的余弦值为 ,因此 ,解得 m= 4 或 m=8(舍去 ),此时 Q(6,4,0) . 设 = (0< λ≤1),而 =(0,-3,6),由此得点 P(0,6-3λ,6λ),所以=(6,3λ-2,-6λ). 因为 PQ ∥平面 ABB1A1,且平面 ABB1A1 的一个法向量是 n3= (0,1,0),所以 n3 =0,即 3λ-2=0, 亦即 λ= ,从而 P(0,4,4) . 于是 ,将四面体 ADPQ 视为以 △ ADQ 为底面的三棱锥 P-ADQ ,则其高 h= 4.故四面体 ADPQ 的体积 V= S△ ADQ·h= 6×6×4=24. 2.(1)证明 连接 B1E,并延长交 BC 于点 F,连接 AB1,AF.∵ABC-A 1B1C1 是三棱柱 ,∴BC ∥ B1C1, ∴△ EFB∽ △ EB1C1.