2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第四章三角形第5节锐角三角函数与解直角三角形.docxVIP

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第5节锐角三角函数与解直角三角形

考情分析导航

命题点

年份

题型、题序

考查内容

分值

考查热度

锐角三角函数与

解直角三角形

2023

解答题第22题

解直角三角形的应用

12分

★★★★★

2022

解答题第22题

解直角三角形的应用

10分

2021

解答题第21题

解直角三角形的应用

10分

知识清单必备

知识点

知识点解读

锐角三角函

数的定义

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边为c,直角边分别是a,b,分别是∠A的对边和邻边,则:sinA=?ac,cosA=?bc,tanA=?a

特殊角的三

角函数值

α

30°

45°

60°

sinα

?12

2

3

cosα

3

2

1

tanα

3

1?

?3?

锐角三角函

数值的变化

(1)当α为锐角时,各三角函数值均为正数,且0<sinα<1,0<cosα<1.

(2)当0°<α<90°时,sinα,tanα随角度的增大而增大;cosα随角度的增大而减小.?

直角三角形

的边角关系

在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C的对边.

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;?

(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;?

(3)边、角关系:sinA=cosB=ac,cosA=sinB=bc,tanA=

坡度

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡度(也叫坡比),用i表示,坡度越大,坡面越陡;坡面与水平面的夹角用α表示,i=tanα=?hl

仰角与俯角

在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.

知识点

知识点解读

方向角

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.

注:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.

高频考点研析

考点一锐角三角函数

【例1】

(2022·荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 (C)

A.33 B.22 C.13

【考法揭秘】本题主要考查坐标与图形的性质,相似三角形的判定与性质,平行线的性质,两点间的距离等知识的综合运用,作适当的辅助线是解题的关键.

【变式】

1.(2021·宜昌)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为 (B)

A.23 B.22 C.43

2.(2022·扬州)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sinA的值为?5-1

【例2】(2023·北京)计算:4sin60°+(13)-1+|-2|-12

【解析】原式=4×32+3+2-2

=23+3+2-23=5.

【考法揭秘】本题考查的是实数的运算,熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键.

【变式】在△ABC中,若sinA-22+(32-cosB)2=0,∠A

考点二解直角三角形

【例3】(2023·北京)如图,在?ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.

(1)求证:四边形AECF是矩形;

(2)若AE=BE,AB=2,tan∠ACB=12,求BC的长

【分析】(1)先证四边形AECF是平行四边形,再由矩形的判定即可得出结论;

(2)由矩形的性质得∠AEC=∠AEB=90°,再证△ABE是等腰直角三角形,得AE=BE=2,然后由锐角三角函数定义得EC=2AE=22,即可解决问题.

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC,∵BE=DF,

∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC,

∴四边形AECF是平行四边形,

∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形;

(2)∵四边形AECF是矩形,

∴∠AEC=∠AEB=90°,

∵AE=BE,AB=2,

∴△ABE是等腰直角三角形,

∴AE=BE=22AB=2

∵tan∠ACB=AEEC=12,∴EC=2AE=2

∴BC=BE+EC=2+22=32,

即BC的长为32.

【考法揭秘】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

【变式】

1.

(2022·宜宾)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED位置,DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为 (C)

A.817 B.715 C.1517

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