第12讲 等腰三角形常作的辅助线（原卷版）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）.pdfVIP

第12讲等腰三角形常作的辅助线（原卷版）

第一部分典例剖析+针对训练

类型一利用三线合一作辅助线

（1）连接顶角顶点和底边中点

典例1（2021秋•无棣县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，

且AE＝AF．求证：∠AED＝∠AFD．

针对训1

1．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝AF．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）BG＝CH．

（2）作底边的高

典例2（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA

＝EC．求证：EB⊥AB．

针对训2

1

2．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=∠BAC．

2

类型二作平行线构造等腰三角形

（1）作腰的平行线构造等腰三角形

典例3（2010秋•青山区月考）如图，△ABC中，点D在AB上，E是AC延长线上一点，BD＝CE，DE交

BC于点F，DF＝EF，DP∥AE交BC于点P，求证：AB＝AC．

（2）作底边的平行线构造等腰三角形

典例4（湖州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，

（1）求∠ADC的度数；

（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．

（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形

典例5（靖江市校级月考）（1）如图1，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证

明△PMO≌△QNO．

（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，

AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

针对训3

3．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，

（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；

（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；

（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．

4．（2020秋•阆中市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠

BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．

5．（2018秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ

分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．

类型四利用∠=2∠b构造等腰三角形

典例6（香坊区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AB＝3.5，则AD＝

2.5．

针对训4

6．（江岸区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．

（1）求证：BE+DE