高考数学复习专题5三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用应用篇72.pptxVIP

应用探索例如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3km,OB=3?km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.(1)若M在距离A点2km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.解题导引(1)由已知求出∠OAB=60°.在△OAM中求得OM=?.在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON),在△OMN中,由正弦定理求出MN.(2)在△OAM,△OAN中,用正弦定理求得OM及ON,S△OMN=?OM·ON·sin∠MON,化简S△OMN的表达式,由θ?求得S△OMN的最小值.解析(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3?,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=7,所以OM=?,所以cos∠AOM=?=?,在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=?.在△OMN中,由?=?得MN=?×?=?.故点M,N之间的距离为?km.(2)设∠AOM=θ,0θ?.在△OAM中,由?=?得OM=?.在△OAN中,由?=?得ON=?=?.所以S△OMN=?OM·ON·sin∠MON=?·?·?·?=?=?=?=?,因为0θ?,所以2θ+?∈?,所以当2θ+?=?,即θ=?时,S△OMN取最小值?.所以应设计∠AOM=?,可使△OMN的面积最小,最小面积是?km2.题目价值本题以生活问题为背景,考查三角函数的实际应用.考查数学建模的核心素养,以及学生处理信息的能力.规律方法?解三角形应用题的方法1.解三角形应用题的一般步骤:2.解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.3.解三角形应用题应注意的问题:(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形等,这样可以优化解题过程.(2)解三角形时,为避免误差的累积,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.