高考数学复习专题6数列3等比数列综合篇41.pptxVIP

考点清单考点一等比数列的有关概念及运算1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的①公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比数列的通项公式如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则{an}的通项公式为an=a1qn-1.既是等差数列又是等比数列的数列是②非零常数列.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项,即③?G=±??(a,b同号).(1)a,G,b成等比数列?G2=ab(ab0).(2)同号的两个数才有等比中项.4.等比数列{an}的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn.(1)当q=1时,Sn=na1.(2)当q≠1时,Sn=?=?.考点二等比数列的性质1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则④?ak·al=am·an??.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?,{?},{an·bn},?仍是等比数列.2.等比数列的前n项和的性质(1)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.注意当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.(2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,?,?,…成等比数列.(3)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则?=q;若项数为2n+1,则?=q.3.等比数列的单调性等比数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1(a1·q≠0),它的图象是分布在y=?qx曲线(q0)上的一群⑤孤立的点.当a10,q1时,等比数列{an}是递增数列;当a10,0q1时,等比数列{an}是递增数列;当a10,0q1时,等比数列{an}是递减数列;当a10,q1时,等比数列{an}是递减数列;当q0时,等比数列{an}是摆动数列;当q=1时,等比数列{an}是常数列.知能拓展考法一等比数列基本量运算的解题技巧例1(1)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=?()A.21????B.42????C.63????D.84(2)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则an=?.(3)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.①求数列{an}的通项公式;②求a1+a3+…+a2n+1.解析(1)设{an}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.(2)由已知得?解得a2=2.设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=?,a3=2q.又S3=7,所以?+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2=?.又q1,所以q=2,所以a1=1,所以an=2n-1.(3)①因为S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,所以Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2,所以an=?②a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,所以a3+a5+…+a2n+1=?=?.所以a1+a3+…+a2n+1=1+?=?.答案(1)B(2)2n-1方法总结1.等比数列可以由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证明都可围绕a1和q进行.2.对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,q.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题.3.等比数列性质的应用若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.(1)特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=?.(2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…(k,n∈N*).注意(1)等比数列求和要讨论q=1和q≠1两种情况.(2)计算过程中,出现方程qn=t时,要看qn中的n是奇数还是偶数.若n是奇数,则q=?;若n是偶数,则t0时,q=±?,t0时,无解.经典例题解析设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,S2=2a1=3,S4=4a1=15,矛盾,所以q≠1,由已知得3=?,15