高等数学下册第十章习题答案详解.doc

高等数学下册第十章习题答案详解

1.根据二重积分性质，比较与的大小，其中

(1)表示以、、为顶点的三角形；

(2)表示矩形区域.

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

从而

故有

所以

（2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.

图10-2

从而ln(x+y)>1

故有

所以

2.根据二重积分性质，估计下列积分的值：

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

(1)，；

(2)，；

(3),.

解：（1）因为当时，有,

因而.

从而

故

即

而（σ为区域D的面积），由σ=4

得.

(2)因为，从而

故

即

而

所以

（3）因为当时，所以

故

即

而

所以

3.设为正常数，根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

(1)，；

(2)，.

解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以

（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故

4.设为连续函数，求,

.

（提示：利用积分中值定理）

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得

又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，

于是：

5.画出积分区域，把化为累次积分：

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

(1)；

(2)；

(3).

解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.

所以

(2)区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为.

图10-3图10-4

所以

（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为

图10-5

所以.

6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序：

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

(1)； (2)；

(3)；(4)；

(5).

解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.

图10-6

D亦可表示为：

所以

(2)相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.

图10-7

D亦可表示为：

所以

(3)相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.

图10-8

D亦可看成D1与D2的和，其中

D1：

D2：

所以.

(4)相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.

图10-9

D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中

D1：

D2：

所以

(5)相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中

D1：D2：

如图10-10所示.

图10-10

D亦可表示为：

所以

7.设连续，且，其中是由直线及曲线所围成的区域，求

.

8.计算下列二重积分：

多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质

(1)，；

(2)，由抛物线,直线与所围；

(3)，是以，，为顶点的三角形；

(4)，.

解：（1）

(2)积分区域D如图10-12所示.

图10-12

D可表示为：

所示

(3)积分区域D如图10-13所示.

图10-13

D可表示为：

所以

9.计算下列二次积分：

多元函数积分学 二重积分的计算 累次积分法

(1)； (2).

解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤，如图10-14所示。

图10-14

D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.

所以

(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中

如图10-15所示：

图10-15

积分区域D亦可表示为：

于是：

10.在极坐标系下计算二重积分：

多元函数积分学 二重积分的计算 换元法

(1),;

(2),为圆所围成的区域；

(3),是由，及直线所围成的在第一象限内的闭区域；

(4)，是由曲线所包围的闭区域.

解：(1)积分区域D如图10-16所示：

图10-16

D亦可采用极坐标表示为：

π≤r≤2π,0≤θ≤2π

所以

(2)积分区域D可用极坐标表示为：

0≤r≤1,0≤θ≤2π.

所以：

(3)积分区域