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北郊中学2023学年第一学期高一年级数学期中
一、填空题(共12题,1-6题每题3分,7-12题每题4分,共42分)
1.已知集合,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】应用集合的交运算求结果.
【详解】.
故答案为:
2.在下列表达式中,①;②;③;④,其中正确为______(填写所有正确的序号).
【答案】②
【解析】
【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可.
【详解】由数集的定义知:,,则①③错;
由空集性质和集合关系知:,,则②对,④错.
故答案为:②
3.不等式的解集为_____________
【答案】
【解析】
【分析】把不等式,转化为,即,即可求解.
【详解】由题意,不等式,即,
即,即,解得,
即不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,其中解答中熟记分式不等式的解法,合理转化为一元二次不等式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
4.已知集合,,若,则_________.
【答案】或0
【解析】
【分析】
由题可得或,解出即可.
【详解】因为,所以或,解得或.
又由集合的互异性,排除,所以或0.
故答案为:或0.
5.用反证法证明命题“若实数、满足,则且”时,反设的内容应为假设__________.
【答案】或
【解析】
【分析】结合已知条件,利用反证法的证明步骤即可求解.
【详解】由反证法的证明步骤可知,首先要假设或.
故答案为:或.
6.若关于x的方程只有唯一解,则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简已知等式,然后对进行分类讨论,从而求得的取值范围.
【详解】依题意,关于x的方程只有唯一解,
①只有唯一解,
当时,方程①有无数解,
当时,方程①的唯一解是,
综上所述,实数m的取值范围为.
故答案为:
7.若,,,则的最小值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得,即可求目标式的最小值,注意取值条件.
【详解】由题设,又,
当且仅当,即时等号成立,且,
所以,当且仅当时等号成立,
所以的最小值为8.
故答案为:8
8.若集合,,若满足的所有m的值组成的集合记为Q,则Q的真子集个数为______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据子集关系可分类求解,进而得到,根据子集的个数公式即可求解.
【详解】由可得,
由于,所以,
当时,,
当时,则,解得,
当时,则,解得,
所以,故Q的真子集个数为,
故答案为:7
9.若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题,则实数x的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解,最后再求并集即可.
【详解】若甲命题为真乙命题为假,则,可得,即;
若甲命题为假乙命题为真,则,可得或,即;
综上所述,实数x的取值范围是.
故答案为:
10.已知关于x不等式有实数解,则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意,构造函数,求解函数的最小值即可求解.
【详解】因为不等式有实数解,所以有实数解,
所以,记,
则,当时,,
当时,,此时函数单调递减,所以,
当时,,此时函数单调递增,所以,
综上,函数取最小值为,所以,解得,
所以.
故答案为:
11.去年8月,上海发放了“爱购上海”为主题的“消费满100元抵50元”的电子消费券.A商家是“爱购上海”的活动商户,同时举行促销活动,每件商品按原价6折销售,但折扣不能与“爱购上海”消费券同时使用.如果你在这个商家购买商品原价的范围在(100,150)元.若使用消费券更便宜,则原价范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设商品原价为元,结合题意可知,运算求解即可.
【详解】设商品原价为元,则,
使用消费券后的价格为,打6折后的价格为,
若使用消费券更便宜,则,解得,即.
故答案为:
12.已知,记符号表示不大于x的最大整数(例如:,).若集合,或,则______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出,再结合取整函数特点,分,,,,和几种情况,进行求解.
详解】,
当时,,由于,舍去;
当时,,此时,满足要求,
当时,,此时,舍去,
当时,,此时,舍去,
当时,,此时,舍去,
当时,,此时,满足要求,
故答案为:
二、选择题(共4题,13、14题每题3分,15、16题每题4分,共14分)
13.“”是“”的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求解不等式,再根据集合的包含关系,即可判断选项.
【详解】不等式,得或,
而?或,
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选:B
14.下列不等式中,与不
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