《经济数学(上册)》第1章第一节函数.ppt

内容小结: 第一章 函数的极限与连续 第一节 函数及其性质 第一节 函数及其性质 一.函数的概念 二.函数的几种特性 三.小 结 一.函数的概念 (一) 区间与邻域 1. 区 间 设 a, b∈R , 且 a<b . 规定: (1) 满足不等式 的 x 的集合叫做闭区间, 表示为 [a, b]; (2) 满足不等式 的 x 的集合叫做开区间, 表示为 (a, b); (3) 满足不等式 的 x 的集合 分别表示为 [a, b) 和 (a, b] . 或 叫做半开半闭区间, 上述区间都是有限区间， b-a 为区间的长度. 此外还有无限区间, 如： [a, +∞) = { x∈R | a≤x }; (a, +∞) = { x∈R | a< x }; (-∞, b) = { x∈R | x<b }; (-∞, b] = { x∈R | x≤b } . 常用的数集有自然数集N、整数集Z、有理数 集Q、实数集R . 点 a 的δ邻域 , 记作 N(a,δ) . 设 a,δ∈R, δ>0，数集{ x∈R | | x －a| <δ} , 即实数轴上和 a 点的距离小于δ 的点的全体, 称为 显然 N(a,δ) = (a -δ, a +δ) 数集 { x∈R | 0<| x－a| <δ}称为点 a 的空心δ 邻域，记作 N( a,δ) . N( a,δ) = (a-δ, a) ∪ (a , a +δ) 2. 邻 域 点 a 与数δ 分别为 这邻域的中心与半径. (二) 函数的概念 任意 x∈D, 变量 y 按照某个对应关系 f 有唯一确定 的实数与之对应 ( 记作 y=f(x) ) , 设 x , y 是两个变量，D 是 R 的非空子集 , 定义1 则称 f 是定义在 D y 称为因变量. 上的函数 , x 称为自变量, { f(x) | x∈D } 称为 f 的值域 . D 称为函 数 f 的定义域 , 数集 两个函数相同的充要条件是其定义 由定义知： 域与对应法则完全相同． 例如函数 与 是不同的函数. 例 1 确定函数 定义域, 的 并求 f(3), f(t2) . 解 该函数的定义域 D 为满足不等式组: 解得 即定义域为 2 函数的表示法 常用的方法有: 表格法、图示法和公式法. (1) 以表格形式表示函数的方法称为表格法； (2) 以图形表示函数的方法称为函数的图示法; (3) 用数学式表示函数的方法称为函数的公式法. 3 反函数 定义2 设有函数 y=f(x) ,其定义域为 D , 值域为 M . 若对于M中的每一个 y值(y∈M) , 根据关系式 y=f(x)有唯一确定的 x与之对应(x∈D) . 那么所确定的以 y 为自变量的函数 称为函数 y = f(x) 的反函数. 函数 y = f(x) 的反函数通常记为 定义域为 M, 值域为 D . 它的 函数 y = f(x) 的图像与其反函数 的图像 关于直线 对称. 4. 基本初等函数 (1) 幂函数 (α∈R) 幂函数的定义域及其性质 任意α∈R, 在(0, +∞)有意义. 与α的取值有关, (2) 指数函数 其定义域为R . (3) 对数函数 其定义域为 (0, +∞) . (4) 三角函数 ①正弦函数 y=sinx , ②余弦函数 y=cosx ， 正弦函数的定义域为(-∞,+∞). 余弦函数的定义域为(-∞,+∞). ③正切函数 y=tanx， 正切函数的定义域为: ④余切函数 y=cotx 余切函数的定义域为: D = { x | x∈R, x≠(2k+1) , k∈Z } D = { x | x∈R, x≠k , k∈Z｝ (5) 反三角函数 ①反正弦函数 y=arcsinx ; 反正弦函数是 y=sinx 在它的单调区间 上的反函数. ②反余弦函数 y=arccosx 反余弦函数是 y=cosx 在其单调区间 上的反函数. ③反正切函数 y=arctan x 反正切函数是 y=tanx 在其单调区间 上的反函数. ④反余切函数 y=arccot x 反余切函数是 y=cotx在其单调区间 上的反函数. 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数统称为基本初等函数． 5. 复合函数 义域为X, D={ x∈X |φ(x)∈U } ≠φ, 则任意x∈D, 通过u=φ(x), 变量 y有确定的值 f(u)与之对应, 得到 定义3 设函数 y=f(u) 的定义域为U, 而u =φ(x)的定 一个以 x 为自变量 , y为因变量的函数