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直线的倾斜角与斜率的教学设计
一、教学目的
1、探索确定直线位置的几何要素,感觉倾斜角这个反应倾斜程度的
几何量的形成过程。
2、经过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜
率,感觉数学观点根源于生活实际,数学观点的形成是自然的,进而
渗透辩证唯物主义思想。
3、充足利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于 x轴
倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直
线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
二、教学重点与难点
重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个观点;
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式;
3、体会数形结合及分类议论思想在观点形成及公式推导中的作用。
难点:用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法
计算机协助教学与发现法相结合。 即在多媒体课件支持下,让学
生在教师引导下,积极探索,亲身经历观点的发现与形成过程,体验
公式的推导过程,主动建构自己的认知构造。
四、教学过程
(一)创设情境,揭示课题
问题1、(出示幻灯片)给出的两点 P、Q相同吗?
从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。
从数的角度看,怎样划分两个点?(用坐标划分)
问题2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点P)可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方法吗?能够增加一个什么样的几何量?(估计不少学生能意识到需要有一个角)
由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式
1)已知直线上两点
2)已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴
线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答
x轴或y轴)
以x轴或y轴为基准都能够,习惯上我们用
x轴。
问题4、过点P与x轴形成45角的直线有几条?
选(择学哪生个可角能来答描一述条直或线两的条倾,斜投程影度,
y
就能保证坐标系下的任何一
L2
L1
条演直示线结都果有)唯如一何的区角分与清它楚对这应两呢条?直线
p
呢?估计学生能想到还需要确定方
·
。
1
2
。L与L135)。
(教师引导学生选用不同的方素来描绘角,并划分
45
向。
o
x
数学观点来刻画事物时,讲究统一美与简短美,怎样用数学语言正确描绘这个角呢?(揭示课题)
1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以x轴为基准,当直线l与x
轴相交时,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 ,叫做直线l的
倾斜角。
学生练习画出过点
P的各样倾斜角的直线。
y
略与
y
y
x
l
p
p
p
p
l
儿?o
x
o
x
ox
o
x
怎样规定? l
(1) (2) (3) (4)
规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为 0。
自然有倾斜角的范围是 [0,180)
这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角
与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直
线,其倾斜角不相等。
以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内
一条直线的倾斜程度。
(二)稳固旧知,同化新知
生活中,我们都有过登山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度,
能够用什么量来反应?(坡角与坡度)
初中对坡度是怎样定义的?
升高量 (即坡角 的正切值)
坡度(比)=
前进量
当坡角 增大时,坡度怎样变化?
当坡角=90与0时,升高量、前进量分别是什么?坡度又分别是什么?
坡角、坡度都能反应倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率:倾斜角不是90的直线,其倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率。即k tan ( 90 )
问题5、当 为钝角时,直线的斜率怎样求?(转变到其补角 上)
y 如:倾斜角 120,则斜率k 3
o
x
问题6、当 在[0,180)内变化时,斜率 k怎样变化?
y
l
y
l
y
y
p
p
p
p
o
x
o
x
o
o
l
x
x
l
0°< < 90° =90 ° 90°< <180 ° =0 °
k >0 k不存在 k<0 k=0
问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢?
倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度, 而斜率是比值,实质是数值,
它能从数的角度反应倾斜的程度,显然用斜率更仔细入微些。
(三)尝试推导,深入认识
两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度, 即
倾斜角与斜率。看来,直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。
问题8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1x2,可否用P1、P2的
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