高三数学一轮（北师大版）基础巩固：第3章 第2节 导数在函数单调性、极值中的应用.docVIP

第三章　第二节 一、选择题 1．(原创题)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 [答案]　A [解析]　从f ′(x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有一个极小值点． 2．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　) A．9　 B．6 C．－9　 D．－6 [答案]　D [解析]　y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a ∴a＝－6. 3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　) A．(a，b)　 B．(a，c) C．(b，c)　 D．(a＋b，c) [答案]　A [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴1－1＝－eq \f(2b,3a)，b＝0，故选A． 4．在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [答案]　A [解析]　在(－∞，－1)和(1，＋∞)上f(x)递增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)； 在(－1,1)上f(x)递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0,1)． 5．(文)(2014·新课标Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　 B．(－∞，－1] C．[2，＋∞)　 D．[1，＋∞) [答案]　D [解析]　由条件知f′(x)＝k－eq \f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． (理)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论： ①f(0)f(1)>0；　　②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0；　　④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是(　　) A．①③　 B．①④ C．②③　 D．②④ [答案]　C [解析]　∵f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f ′(x)<0，得1<x<3，由f ′(x)>0，得x<1或x>3， ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0， ∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0， y极小值＝f(3)＝－abc<0. ∴0<abc<4. ∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0. 又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0. ∴正确结论的序号是②③. 6．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 [答案]　C [解析]　本题考查函数零点的判断及函数的极值． ①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B项均错． ②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2 此时f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1) ＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1) ＝(x－1)[ex(x＋1)－2]， 易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有 x (－∞，x0) x0 (x0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  故f(x)在x＝1处取得极小值． 二、填空题 7．(文)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． [答案]　(2，＋∞) [解析]　f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)， 由f ′(x)>0得x>2. (理)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是________． [答案]　c [解析]　由f ′(x)的图像知，x＝0是f(x)的极小值点， ∴f(x)极小值＝f(0