高中人教版数学必修4学案：第1章 1.4.2 第2课时　正弦、余弦函数的单调性与最值含答案.docVIP

第2课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握y＝sin x和y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2.掌握y＝sin x和y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养. 2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养. 正弦、余弦函数的图象与性质 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))＋2kπ，k∈Z上递增， 在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2))) ＋2kπ，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 最值 x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 对称轴 x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)k∈Z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))k∈Z 思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？ [提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝eq \f(π,2)，n＝π. 1．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))的值域是(　　) A．[－2,2]　　　　 B．[0,2] C．[－2,0] D．[－1,1] A　[这里A＝2，故值域为[－2,2]．] 2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,2)))的一个对称中心是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0)) B　[y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,2)))＝cos 2x，令2x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，令k＝0的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，故选B.] 3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为 ． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z))))　[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3， 此时x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.] 4．函数f(x)＝eq \r(,2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的单调减区间为 ． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)　[令2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)，故单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．] 正弦函数、余弦函数的单调性 【例1】　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是 ． (2)已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间． 思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]