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专题19 定值类问题
1.(2021?武汉)抛物线交轴于,两点在的左边).
(1)的顶点在轴的正半轴上,顶点在轴右侧的抛物线上;
①如图(1),若点的坐标是,点的横坐标是,直接写出点,的坐标.
②如图(2),若点在抛物线上,且的面积是12,求点的坐标.
(2)如图(3),是原点关于抛物线顶点的对称点,不平行轴的直线分别交线段,(不含端点)于,两点.若直线与抛物线只有一个公共点,求证:的值是定值.
2.(2021?硚口区模拟)如图1,抛物线经过点,其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在第一象限的抛物线上,点在轴上,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;
(3)如图2,直线交抛物线于、两点,平移直线交线段(端点除外)任一点,交直线下方的抛物线于点,作直线轴交于点.若为定值.求的值.
3.(2021?武汉模拟)如图1,直线过定点,抛物线经过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若为原点,为抛物线上一点,,求点的横坐标;
(3)如图2,直线与抛物线的另一个交点为,为抛物线上一动点,若,试问:直线上是否存在一点,使得的长为定值?说明理由.
4.(2021?越秀区模拟)在平面直角坐标系中,抛物线的最高点为点,将左移1个单位,上移1个单位得到抛物线,点为的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点的直线与抛物线只有一个交点,求直线的解析式;
(3)直线与抛物线交于、两点,交轴于点,连接,过点作于点,点为上之间的一个动点,连接交于点,连接并延长交于点,试说明:为定值.
5.(2021?海珠区校级模拟)如图,经过定点的直线交抛物线于,两点(点在点的右侧),为抛物线的顶点.
(1)直接写出点的坐标;
(2)如图(1),若的面积是面积的两倍,求的值;
(3)如图(2),以为直径作,若与直线所截的弦长恒为定值,求的值.
6.(2021?福州模拟)抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧).
(1)求与的数量关系;
(2)若直线与抛物线交于,两点(点在点左侧),且在内部.
①当时,求证:平分;
②当时,,分别交轴于,两点,求证:是一个定值.
7.(2021?彭泽县模拟)抛物线与轴交于点,,,,顶点为,当时,,,△是等腰直角三角形,回答下列问题:
(1)求的值;
(2)用含的代数式表示的坐标;
(3),,,是否在一条直线上,如果在,请直接写出这条直线的解析式;如果不在,请说明理由.
(4)是否为定值,如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
8.(2021?越秀区校级二模)已知抛物线与轴交于点、在的左侧),与轴交于点.的平分线交轴于点.过点的直线与射线、分别交于点、.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当实数时,求二次函数在时的最大值;(可用含的代数式表示)
(3)当直线绕点旋转时,试证明为定值,并求出该定值.
9.(2021?徐州一模)如图1,在平面直角坐标系中,点为抛物线的顶点,点、(点与点不重合)为抛物线上的动点,且轴,以为边作矩形,点在上,连接交抛物线于点.
(1)当点、在轴上时, , ;
(2)如图2,当原点在上时,求直线的表达式;
(3)在点,的运动过程中,是否为定值?如果是,请求出定值;如果不是,请说明理由.
10.(2021?泰兴市模拟)如图,矩形,,是常数且,现将它置于平面直角坐标系中,使边在轴负半轴上,直线过点.已知点的坐标为,抛物线过点与轴交于点.
(1)若为抛物线顶点.
①当,时,求的值;
②若抛物线与边交于点,且,当、各自取不同的值时,试说明:的值不变;
(2)若,求的值;
(3)在(2)下,当为定值时,抛物线与矩形的边有公共点,且与射线的交点到轴的距离最大为5,求的范围.
11.(2021?永州模拟)已知:抛物线过点、、,交轴于点,点在左边),交轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)为抛物线上一动点,,求点的坐标;
(3)交抛物线于,两点,不与,重合),直线,分别交轴于点,点,试求此时是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请说明理由.
12.(2021?深圳模拟)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,与轴相切于点,与轴相交于、两点.
(1)分别求、、三点的坐标;
(2)如图1,设经过、两点的抛物线解析式为,它的顶点为,求证:直线与相切;
(3)如图2,过点作直线轴,与圆分别交于、两点,点为弧上任意一点(不与、重合),连接、,的延长线于点.请问是否为定值,若为定值,请求出这个值,若不为定值,请说明理由.
13.(2020?江岸区校级模拟)如图1,抛物线与交于、两点在左侧),与轴交于点,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,连接,在线段上有一动点,过作轴的平行线,交抛物线于点,交轴于点,若以、、为顶点的三角形与相似时,求点的横坐标;
(3)如图3,为轴上一动点,过作轴的平行线,
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