《经济数学(上册)》第1章第三节极限计算方法.ppt

第三节 极限的计算方法 设 lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则 lim( f(x)±g(x) ) = limf(x)±limg(x) (=A±B) 设lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则 定理1 定理2 lim( f(x)g(x) ) = (lim f(x))(limg(x)) (=AB)． 设lim f(x)=A, lim g(x)=B, 且 B≠0， 定理3 则 一. 极限的运算法则 注：(1) 以上的定理中，符号“lim”下方没有标明自变量的变化过程，意思是指以上定理对自变量的任何一种变化过程都成立．对每个定理, “lim”表示自变量的同一个变化过程． (2) 以上定理都要求 f(x), g(x) 的极限存在, 商的法则还要求分母的极限不为零． 定理1和定理2可以推广到有限个函数的情形. 如果 limf(x) 存在，c 为常数，则 推论1 lim( cf(x) )= c limf(x)． 如果 limf(x) 存在，n∈N, 则 推论2 lim[ f(x) ]n =[ limf(x) ]n． 例1 设Pn(x)= anxn + an-1xn-1 +…+ a１x + a0， . 任意x0∈R，证明 例2 求 表示 x 的n次、 m次多项式, Pm(x0)≠0, 证明 例3 设 , 其中Pn(x)、Pm(x)分别 例4 求 解 : 因为2·2３-22+1=13≠0，由 例3, 例5 求 解 : x→1时，x2-1→0，x2+x-2→0. 因此不能用商的极限的运算法则. 通常记为“ 存在, 也可能不存在, 因此这种极限通常称为不定式，它可以通过约去使分子和分母同时为零的因式来求解．例如 以上这种两个非零无穷小的比的极限， ”. 由于这种形式的极限可能 x→∞时，分子、分母都是无穷大, 所以 不能直接用商的极限的运算法则. 例6 求 这种两个无穷大的比的极限也是不定式， 解 通常记为“ ”． 因为分子、分母关于x 的最高次幂是x4, 所以这时可用 x4 同时去除分子、分母， 然后取极限, 得 例7 求 解 x→1时，x2-1→0，但x2+x→2(≠0), 不能 直接用商的极限的运算法则， 由于 因此由第四节定理4， 例8 求 解 因为 所以不能用差的极限的运算法则, 这种两个无穷大的差的极限也是不定式, 通常记为“∞-∞”．这时可以恒等变形 成“ ”或“ ”的极限求解． 证 因为x0≠kπ+ 例9 x０∈R，x0≠kπ+ (k∈Z)，证明： (k∈Z)， 由商的极限运算法则，有 由前面例题， , * 二.两个重要极限 * (一) 证明 因为函数 是偶函数, 只要证明 设 此时有不等式 sin x < x < tan x . 从而 由于 由极限的性质4 (夹逼准则) 有 所以 * 公式1在极限计算中有重要应用, 它在形式上 有以下特点: (1) 它是“ ”型; ( 代表同样的变量或同样的表达式). (2) 公式 1 的形式可写成 * 例1 计算 解 例2 计算 解 * 例3 求 解 例4 求 解 * 例5 求 解 令 arcsin x = t , 则 x=sin t , 且 x→0 时, t→0 . 极限 定 理 存在, 记为e , 即: (二) * {xn}的变化趋势如下表: 记 1 2 3 10 100 1000 10000 … 2 2.250 2.370 2.594 2.705 2.717 2.718 … e 是一个无理数 , 是自然对数的底 , e=2.718 281 828 459… , 进一步得到以下公式 x→∞时 t→0 令 * 极限, (2) 公式的一般形式可以写成 (1) 它们是底的极限为1、指数为无穷大的变量 上述公式具有以下特点: ( 代表同样的变量或同样的表达式). 或 通常记为 “ 1∞ ” . * 例6 求 解 此题属 “1∞” , 例7 计算 解 此题属 “1∞” , * 例8 计算 解 则 x→0 时 u→e 令 例9 计算 解 令e x -1=u, 则 x=ln(1+u), 且 x→0 时, u→0, 于是 * 例9 计算 解 此题属 “1∞” , * 练 习 : 三.无穷小阶的比较 但是 无穷小趋于 0 的速度是不同的. 都是无穷小, 引例 时, 当 * 设 是自变量同