高中数学竞赛教材讲义第七章解三角形讲义.doc

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A，B，C 分别表示 △ABC的三个内角， a, b, c 分别表示它们所对的各边长， p a b c 为半周长。 2 a b c 1．正弦定理： =2R（ R 为 △ABC外接圆半径） 。 sin A sin B sin C 推论 1： △ABC的面积为 1 1 1 S△ABC= ab sin C bcsin Aca sin B. 2 2 2 推论 2：在 △ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. 推论 3：在 △ABC 中， A+B= a b ，解 a 满足 sin( ，则 a=A. sin a a) 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正 弦函数定义， BC边上的高为 bsinC，所以 1 -A，所 S△ABC= absin C ；再证推论 2，因为 B+C= 2 以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论 3， 由正弦定理 a b ，所以 sin a sin( a) ，即 sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 sin A sin B sin A sin( A) 1 -A+a)-cos( -A-a)]= 1 -a+A)-cos( -a-A)]，等价于 cos( -A+a)=cos( -a+A)， [cos( [cos( 2 2 因为 0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以 a=A，得证。 2．余弦定理 ：a2=b2 +c2-2bccosA b 2 c2 a2 cos A ，下面用余弦定理证明几个常用 2bc 的结论。 （ 1） 斯 特 瓦 特 定 理 ： 在 △ABC中 ， D 是 BC边 上 任 意 一 点 ， BD=p， DC=q， 则 AD2= b2 p c2 q pq. （ 1） p q 【证明】 因为 c2=AB2 =AD2 +BD2-2AD· BDcos ADB ， 所以 c2=AD2+p2-2AD· pcos ADB . ① 同理 b2 =AD2+q2-2AD·qcos ADC ， ② 因为 ADB+ ADC= ， 所以 cos ADB+cos ADC=0， 所以 q×① +p×②得 2 2 2 +pq(p+q) ，即 2 b2 p c2 q pq. qc +pb =(p+q)AD AD= p q 注：在（ 1）式中，若 p=q，则为中线长公式 AD 2b2 2c 2 a 2 . 2 （ 2） 海 伦 公 式 ： 因 为 S2ABC 1 b2c2sin 2A= 1 b2c2 (1-cos 2A)= 1 b2c2 4 4 4 1 (b2 c 2 a2 ) 2 1 [(b+c) 2 -a 2][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 4b 2 c2 16 这里 p a b c . 2 所以 S△ABC p( p a)( p b)( p c). = 二、方法与例题 1．面积法。 例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从 O点发出的三条射线满足 POQ , QOR ，另外 OP， OQ， OR的长分别为 u, w, v ，这里 α，β， α+β∈(0, )， 则 P， Q， R 的共线的充要条件是 sin sin sin( ) . u v w 【证明】 P，Q， R 共线 S PQR 0 S OPR S OPQ S ORQ 1 1 1 β uvsin ( α +β )=uwsin α+vwsin 2 2 2 sin( ) sin sin ，得证。 w u v 2．正弦定理的应用。 例 2 如图所示， △ABC内有一点 P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。 求证： AP· BC=BP· CA=CP· AB。 【证明】 过点 P作 PD BC，PE AC，PF AB，垂足分别为 D，E，F，则 P，D，C，E；P，E，A，F； P， D， B， F 三组四点共圆，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。由题 设及 BPC+ CPA+ APB=3600 可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。 所以 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB=600。 所以 0 0 EDF=60 ，同理 DEF=60 ，所以 △DEF是正三角形。 所以 DE=EF=DF，由正弦定理， CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，两边同时乘以 △ABC