同步人A数学必修第一册新教材讲义：第5章 5.7　三角函数的应用含答案.docVIP

5.7　三角函数的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养. 2.借助实际问题求解，提升数学运算素养. 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 1．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)　 B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6) B　[y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅为eq \f(1,3)，初相为eq \f(π,6).] 2．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的频率为________，相位为________，初相为________． eq \f(1,4π)　eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)　－eq \f(π,6)　[频率为eq \f(1,T)＝eq \f(\f(1,2),2π)＝eq \f(1,4π)， 相位为eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)，初相为－eq \f(π,6).] 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次． 0．8　[观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．] 4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________． y＝－6sineq \f(π,6)x　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6). 当x＝9时，ymax＝6. 故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z. 取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x.] 三角函数模型在物理学中的应用 【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [思路点拨]　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键． [解]　列表如下： t －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) 2t＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))) 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin?ωx＋φ?表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq \f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，eq f＝\f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数. 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(