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几何三大难题 几何三大难题 几何三大难题 . 本章介绍的几何作图三大问题就是最有名的问题 几何三大难题 假如不知道远溯古希腊长辈所成立和发展的观点、方法和结果，我们就不行 能理解近 50 年来数学的目标，也不行能理解它的成就 . Herm??nn Weyl § 1 问题的提出和解决 数学的心脏 数学是由什么构成的公义吗定义吗定理吗证明吗吗公式吗固然， 没有这些构成部分数学 就不存在，它们都数数学的必需构成部分，可是，它们中间的任一个都不是数学的心脏 . 数 学家存在的主要原因就是提出问题和解决问题 . 所以，数学的真实构成部分是问题和解 . 两千 多年以来，数学就是在解决各样问题中进行的 . 那么，什么样的问题是好问题呢对此希尔伯特有一段出色的论述： “要想早先正确判断 一个问题的价值是困难的， 并且经常是不行能的； 因为最后的判断取决于科学从该问题获取 的利润，虽然这样，我们仍旧要问：能否存在一个一般准则，能够借以鉴识好的数学识题， 一个老的法国数学家以前说过： 一种数学理论应当这样清楚， 使你能向大街上碰到的第一个 人解说它 . 在此从前，这一理论不可以以为是完美的 . 这里对数学理论所坚持的清楚性和易懂 性，我想更应当把它作为一个数学识题可谓完美的要求 . 因为清楚地、易于理解的问题吸引 着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而止步 . ” “其次，为了拥有吸引力，一个数学识题应当是困难的，但却不可以是完整不行解决的， 使我们空费劲气 . 在通向哪隐蔽的真谛的波折道路上，它应当是引导我们行进的一盏明灯， 最后以成功的愉悦作为我们的报偿 . ” 在数学史上这样的例子是不胜列举的之一 . 希腊古典时期数学发展的路线 希腊前 300 年的数学沿着三条不一样的路线发展着 . 第一条是总结在欧几里得得《几何原 本》中的资料 . 第二条路线是相关无量小、极限以及乞降过程的各样观点的发展，这些观点 向来到近代，微积分出生后才得以澄清 . 第三条路线是高等几何的发展，即园和直线之外的 曲线以及球和平面之外的曲面的发展 . 令人诧异的是，这类高等几何的大多半发源于解几何 作图三大问题 . 几何作图三大问题 古希腊人在几何学上提出有名的三大作图问题，它们是： ( 1 ) 三平分随意角 . ( 2 ) 化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积 . 1 ( 3 ) 立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍 . 解决这三大问题的限制是，只许使用没有刻度的直尺和圆规，并在有限次内达成 . 1.4 问题的根源 这三个问题是如何提出来的呢因为年月长远，已无文件可查 . 听说，立方倍积问题起 源于两个神话 . 厄拉多赛（ Eratoshenes of Cyrene ，约公元前 27―约前 194）是古希腊 有名的科学家、天文学家、数学家和诗人 . 他是丈量过地球周长的第一人 . 在他的《柏拉图》 一书里， 记述了一个神话故事 . 说是鼠疫侵袭了爱琴海南部的一个小岛， 叫提洛岛 . 一个预知 者说，他获取了神的谕示：须将立方形的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能暂停 . 建筑是很为 难， 不知道如何才能使体积加倍 . 于是去讨教哲学家柏拉图 . 柏拉图说，神的真实企图不在于 神坛的加倍，而是想使希腊人因忽略几何学而惭愧 . 另一个故事也是厄多拉塞记述的 . 说古代一位惨剧诗人描绘克里特国王米诺斯为 他的儿子克劳科斯修坟的事 . 他嫌坟修造得太小，命令相关人一定把坟的体积加倍，但要保持立方的形状 . 接着又说，“赶忙将每边的长都加倍 . ”厄拉多塞指出，这是错误的，因为边长加倍，体积就变为本来的 8 倍. 这两个传说都表示，立方倍积问题发源于建筑的需要 . 三平分随意角的问题来自正多边形作图 . 用直尺和圆规二平分一个角是易如反掌的 . 由 此能够简单地作出正 4 边形、正 8 边形， 以及正 2n 次方边形， 此中 n ≥ 2 是自然数 . 很自然 地，人们会提出三平分一个角的问题 . 但这倒是一个不行能用尺规解决的问题 . 圆和正方形都是最基本的几何图形， 如何做一个正方形和一个已知圆有相同的面积呢这 就是化园为方的问题 . 历史上唯恐没有一个几何问题像这个问题那样激烈地吸引人们的兴趣 . 早在公元前 5 世纪，就有好多人研究这个问题了，都想在这个问题上大显神通 . 化园为方的问题相当于用直尺和圆规作出√π的值 . 这个问题的最早研究者是安那克萨 哥拉，惋惜他的对于化圆为方的问题的 研究没有流传下来，此后的研究者有希波克拉茨 Hippocrates of Chios ，公元前约 460 年） . 他在化圆为方的研究中求出了某些月牙形的面积 . 别的 . 还有安提丰，他提出了一种穷竭法，拥有划时代的意义，是近代极限论 的先声