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映射 函数
教学目标
1.映射,一一映射
2.函数
二、考点、热点回顾
1.映射、一一映射
(1)集合A到集合B的映射有三个要素,即集合A、集合B和对应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的,因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么,映射的定义未对此作具体要求,它们的元素可以是数,可以是点,也可以是其他对象.
(2)一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射:①集合A中的每一个元素(一个不漏地)在集合B中都有象(但集合B中的每一个元素不一定都有原象);②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个(集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个).也就是说,图1和图2所示的两种对应不能称为映射.
(3)对于上述映射,如果加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象,则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个,则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”.
例1 如图3,集合A={1、2、3、4、5},B={、、、、}.判断下列对应中,(1)哪些是集合A到集合B的映射;(2)哪些是集合A到集合B上的映射;(3)哪些是集合A到集合B上的一一映射.
例2 已知集合A={},B={}.判断下列各对应f是否是集合A到集合B的映射?一一映射?并说明理由.
(1):; (2) :;
(3) :; (4) :;
(5) :
2.函数
(1)函数的定义.
在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发,用变量来定义的,习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生,反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制,对某些函数难以进行研究,因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义,它更具有一般性.当然,两种定义的本质是一样的.
集合A到集合B的映射:要成为函数,还必须满足两个条件:①集合A、B都是非空集合;②集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域,而集合B不一定是值域.一般地说,值域C是集合B的子集,即.(若集合,则这个映射就成为集合A到集合B上的映射).
(2)函数的三要素.
定义域A,值域C和定义域A到值域C的对应法则,构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时,两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时,主要观察它们的定义域和对应法则是否相同.
(3)区间
设、,且.用闭区间[]表示集合{},用开区间表示集合{},用半开半闭区间表示集合{},用半开半闭区间表示集合{}.
(4)函数的表示法.
函数常用的表示法有:解析法,列表法及图像法,三种表示法各有其长处.
要搞清符号和(为常数)的区别.一般情况下,是一个随自变量的变化而变化的变量,而是当自变量时函数的值,是一个确定的量.
与初中接触到的函数不一样,这里的函数可以是在不同区间中(或不同条件下)表达式不同的分段函数,因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线,它可能是一些孤立的点,一些线段,或一些曲线.
例3 判断下列各对函数是否是同一个函数,并说明理由.
(1) , ;
(2) , ;
(3) , ;
(4) ,
(5) , ;
(6) , .
例4 已知 , ,求 和 .
(1)已知 求,,,;
(2)已知 且, 求.
例6 (1)画出函数的图像;
(2)画出函数的图像;
(3)已知函数的图像如图4,
写出的解析式.
例7 求下列函数的定义域:
(1) ; (2) ;
(3) .
例8 已知函数的定义域为[-1,2],求函数的定义域.
例9 (1)已知,求 ;
(2)已知函数 的定义域是 ,且,求;
(3)已知 ,求.
例10 设 画出函数
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