中考数学压轴题探究性问题解答题解析版.docx

01．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C （1）求此二次函数解析式； （2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由； （3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4． 【解析】 （1）将、代入，得： ，解得：， 此二次函数解析式为． （2）为直角三角形，理由如下： ， 顶点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为， ， ， ． ， ， 为直角三角形． （3）设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为， 将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为． 联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：，， 点的坐标为，，点的坐标为，． 点的坐标为， ，，． 为直角三角形， 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，有，即， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，有，即， 整理，得：． ， 该方程无解（或解均为增解）． 综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4． 【关键点拨】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑． 42．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点． （1）证明：； （2）若，证明：与相切； （3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 （1）连接OC. 在△OAD和△OCD中， ∵， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO＝∠CDO， 又AD＝CD， ∴DE⊥AC． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）∵tan∠ABC2， ∴设BC＝a、则AC＝2a， ∴AD＝AB． ∵OE∥BC，且AO＝BO， ∴OEBCa，AE＝CEAC＝a． 在△AED中，DE2a． 在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2， ∴AO2+AD2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴DA与⊙O相切； （3）连接AF． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD＝∠BAD＝90°． ∵∠ADF＝∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴， 即DF?BD＝AD2①． 又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴， 即OD?DE＝AD2②， 由①②可得DF?BD＝OD?DE， 即． 又∵∠EDF＝∠BDO， ∴△EDF∽△BDO． ∵BC＝1， ∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB， ∴， 即， 解得：EF． 【关键点拨】 本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明． 43．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）． （1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE； （2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2?BE?tan2α；（3）sin（45°﹣α）． 【解析】 (1)如图1中， ∵B、B′关于EC对称， ∴BB′⊥EC，BE＝EB′， ∴∠DEB＝∠DAC＝90°， ∵∠EDB＝∠ADC， ∴∠DBE＝∠ACD， ∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD＝BB′＝2BE； (2)如图2中，结论：CD＝2?BE?tan2α， 理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°， ∴△BAB′∽△CAD， ∴， ∴， ∴CD＝2?BE?tan2α； (3)如图 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°