中考数学压轴题新定义和阅读理解型问题8个解答题解析版.docx

01．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D． 解决问题 (1)在图1中， ①B′D和AC的位置关系为　　； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　　； (2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　； 拓展应用 (4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　　． 【答案】(1)①BD′//AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12. 【解析】 (1)①．②将剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为，菱形； (2)①选择②证明如下： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折至△， ， ， ， 是等腰三角形； 将剪下后展开，得到的图形四边相等， 将剪下后展开，得到的图形四边是菱形． ②选择①证明如下， 四边形是平行四边形， ， 将沿翻折至△， ， ， ， ， ， ， ． (3)①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为；， ， ②当矩形的长宽之比为时，满足条件，此时可以证明四边形是等腰梯形，是轴对称图形； 综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或； (4)，， ， ， 四边形是等腰梯形， ，， △是直角三角形， 当，时，如图3中， 设， ， 解得， ， ， ， ， 当，时，如图4， ，， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ； 当，时，如图5， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， 当时，如图6， ，， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是矩形， ， ，， ； 已知当的长为4或6或8或12时，△是直角三角形． 故答案为：平行，菱形，或，4或6或8或12； 【关键点拨】 本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系. 02．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法： ∵sinA=，sinB=， ∴c=，c=， ∴=， 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程． 【答案】==，理由见解析. 【解析】 ==，理由为： 如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC， 在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB， 在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC， ∴csinB=bsinC，即=， 同理可得=， 则==． 【关键点拨】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 03．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L． （1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式； （3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值； （4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围． 【答案】（1）；（2）L=8m+4．（3）20；（4）12≤L≤44． 【解析】 （1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1） 把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1， ∴m=； （2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m， ∴AE=ED=2m， ∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O， ∴AD=BC=4m，AB=CD=2， ∴L=8m+4； （3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点， ∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上， ∴m2﹣1=1， ∴m=2或﹣2（舍弃）， ∴L=8×2+4=20； （4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时， 若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃）， 若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃）， 又∵m≤2， 观察图象可知满足条件的m的值为1